[Risolto] problema di geometria

Un rettangolo ABCD ha il lato AB lungo 12 cm e il lato BC lungo 8 cm. Diminuendo di uno stesso segmento tutti i lati del rettangolo, si ottiene un rettangolo la cui area è un terzo dell'area del rettangolo ABCD. Qual è la lunghezza di questo segmento?   (il risultato dovrebbe dare 4cm)

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Segmento $=x$;

equazione:

$(12-x)(8-x) = \frac{1}{3}(12·8)$

$96-12x-8x+x^2 = 32$

$-20x+x^2 = 32-96$

$-20x+x^2 = -64$

riordina ed eguaglia a zero:

$x^2-20x+64 =0$

equazione di secondo grado completa, quindi risolvi con i seguenti dati:

$a= 1$;

$b=-20$;

$c= 64$;

$∆= b^2-4ac = (-20)^2-4·1·64 = 400-256 = 144$ 

applica la formula risolutiva:

$x_{1,2}=\dfrac{-b±\sqrt{∆}}{2a} = \dfrac{-(-20)±\sqrt{144}}{2·1} = \dfrac{20±12}{2}$;

risultati:

$x_1= \dfrac{20-12}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$;

$x_2= \dfrac{20+12}{2} = \dfrac{32}{2} = 16$;

prendiamo $x_1= 4~cm$ perché l'altro supera ambedue i lati del rettangolo e ciò non può essere.

 

Verifica l'equazione sostituendo il valore trovato alla x:

$(12-4)(8-4) = \frac{1}{3}(12·8)$

$8·4 = 32$

$32=32$

uguaglianza verificata.