PROBLEMA DI FISICA SULLE DERIVATE

$\textbf{a.}$

Iniziamo scomponendo il moto del corpo in due moti, quindi uno parallelo all'asse delle $x$ e l'altro parallelo all'asse delle $y$, all'istante $t=0$ la posizione del corpo è $(x(0),y(0))$, quindi $(-1,\frac{1}{2})$, La sua velocità in quell'istante è $\vec{V_0}=x'(0)\hat{x}+y'(0)\hat{y}$, quindi deriviamo:

$x'(t)=1$

$y'(t)=-\frac{2(t-1)}{(t^2-2t+2)^2} \implies y'(0)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Quindi in quell'istante il corpo ha velocità $\vec{V_0}=1m/s \hat{x} + 0.5m/s \hat{y}$, se preferisci, puoi dire che la velocità del corpo ha modulo $V_0=\sqrt{x'(0)^2+y'(0)^2}=\sqrt{1m^2/s^2+0.25m^2/s^2} \approx 1.12m/s$ con un angolo di $\alpha= \arctan(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1})=\arctan(\frac{1}{2}) \approx 26.57^{\circ}$ con il semiasse positivo delle $x$.

$\textbf{b.}$

Sapendo che $x(t)=t-1 \implies t=x(t)+1$, possiamo sostituire i $y(t)=\frac{1}{(x(t)+1)^2-2(x(t)+1)+2}=\frac{1}{x(t)^2+2x(t)+1-2x(t)-2+2}=\frac{1}{x(t)^2+1}$ che è l'equazione della traiettoria che su un sistema cartesiano di assi $y(t)$ e $x(t)$ rappresenta la traiettoria del corpo.

Il vettore velocità è parallelo all'asse $x$ quando la componente $y$ è nulla, quindi quando $y'(t)=0 \implies -\frac{2(t-1)}{(t^2-2t+2)^2}=0 \implies t=1$.