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[Risolto] Problema di fisica - simmetria radiale

  

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Buonasera o buongiorno a tutti e a tutte. Vi propongo un problema un po’ diverso dal solito e nei commenti allegherò la mia soluzione, soluzione che porta a un risultato giusto, ma che mi perplime non poco.

Un cilindro di massa $m=100 g$ e raggio $r=5 cm$ scende lungo un piano inclinato, rotolando senza strisciare. Parte dalla sommità del piano, che si trova a un'altezza $h=10 cm$ rispetto al piano orizzontale, e impiega un tempo $t^*=2 s$ per arrivare alla base del piano, percorrendone tutta la lunghezza pari a $l=1 m$. Determinare il momento d'inerzia del cilindro rispetto al suo asse di simmetria, sapendo che esso non è omogeneo e che la distribuzione di massa al suo interno ha simmetria radiale.

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- il nostro cilindro è su un piano inclinato e compie un moto di rotolamento puro su di esso

- l*sin(θ) = h, da cui si ricava subito che θ = arcsin(0.10) = 0.10 rad 

- applico la Seconda equazione della dinamica lungo il piano inclinato e ottengo m*a = m*g*sin(θ) -F_a, ove F_a è la forza di attrito 

- applico la Seconda legge di Newton rotazionale, per cui ho

I*α =r*F_a, ove α è l’accelerazione angolare e I il momento di inerzia del cilindro rispetto l’asse di rotazione

- da quanto appena detto segue che I*α = I*a/r^2, da cui segue che (m+I/r^2)*a = m*g*sin(θ) e che a =m*g*sin(θ)/(m+I/r^2) 

- bene, ora noto che il moto del cilindro lungo il piano è uniformemente accelerato, per cui s(t) = (1/2)*a*t^2

- per ipotesi so che s(2)=l=1, da cui ricavo che a=1/2, per cui

m*g*sin(θ)/(m+I/r^2) = 1/2

- con qualche calcolo ricavo che m*(2*g*sin(θ) -1)*r^2 =I

Facendomi conti mi risulta che I=2.4*10^-4, che è proprio il risultato proposto dal docente. La mia domanda è: l’ipotesi sulla simmetria radiale era solo un depistaggio? 

@ifigenia  ...dimmi che  pensi della mia soluzione (spero di aver sciolta ogni tua perplessità)

 

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...se il cilindro fosse perfettamente cavo avremmo :

I = m*r^2

Ekr = I/2*V^2/r^2 = m/2*V^2 = Ekt

Ek = Ekr+Ekt = 2*m/2*V^2 = m*V^2

mgh = m*V^2

V = √gh = √0,980665 = 0,990 m/sec (nel caso in esame V' vale 1,00 m/sec )

2L = V*t

t = 2L/V = 2,00/0,990 = 2,02 sec ...di pochissimo > 2,00 sec  

mV^2 = I*V^2/r2 

I = m*r^2 = 25*10^-4*0,1 = 2,50*10^-4 kg*m^2

 

per la conservazione dell'energia :

m*V^2+I*V^2/r^2 = m*V'^2+I'*V'^2/r^2

...da cui ricavare I' che risulta uguale a 2,403*10^-4 kg*m^2

@remanzini_rinaldo grazie mille, commento davvero utile!



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Nel nostro caso non è una sfera ma il concetto è lo stesso 

La simmetria radiale permette di dire che il centro di massa è un punto dell'asse... 



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