[Risolto] Problema di fisica-Ampere Maxwell e funzione

Il tuo problema riguarda un campo elettrico variabile che genera un campo magnetico indotto, quindi dovremmo usare le leggi di Maxwell

Il teorema di Ampere-Maxwell ci dice che la circuitazione di B è uguale a u(i+e*d(flussoE)/dt)

dove u è la permeabilità magnetica ed e è la costante dielettrica ("epsilon).

siccome nel tuo caso abbiamo solo un campo elettrico, la i della formula vale zero (infatti non ci sono correnti elettriche).

la circuitazione di B diventa allora ue*d(flussoE/)dt

ora scriviamo la circuitazione di B anche usando la definizione generale: sappiamo infatti che la cirucitazione di B lungo una circonferenza può essere scritta come il prodotto tra B e la circonferenza, ovvero B*2pi*r 

sapendo anche la formula che mi descrive B, posso dire che la circuitazione è:

2pi*r^2*u*e*a*t^2/(bt^2 +1) 

siccome abbiamo scritto la stessa grandezza fisica con due formule diverse, possiamo porle uguali e vedere cosa otteniamo.

ovviamamente e ed u ti si semplificano e rimane:

2pi*r^2*a*t^2/(bt^2 +1) = d(flussoE/)dt 

a questo punto puoi trovare la funzione che descrive il flusso di E facendo l'integrale della parte a sinistra dell'uguale.

é un integrale un po' brutto da scrivere ma si risolve abbastanza rapidamente (ti allego la foto dei calcoli).

ora che abbiamo la funzione del flusso non ci resta che trovare la funzione E(t) come chiesto dal problema. Anche qui, usando la definizione di flusso, sappiamo che il flusso di E sarà il prodotto tra E e l'area del cerchio quindi flusso di E = E*pi*r^2

Semplificando otteniamo la funzione E(t) e come puoi notare essa non dipende da r perchè l'abbiamo tolto nell'ultimo passaggio. 

Siccome abbiamo risolto un integrale indefinito, il risultato sarà scritto nella forma f(t) + c.

allora come si trova la c? 

il problema ci dice che se t=0 allora E=0, quindi ci basta sostituire i due valori e ci ricaviamo la c, che fortunatamente sarà zero a sua volta.

 

STUDIO DELLA FUNZIONE B(t):

Dominio: tutto R (probabilmente bisogna considerare t>0 perchè i tempi negativi non esistono)

Simmetrie: la funzione è pari perchè f(x) = f(-x)

Intersezioni: se t=0 allora B=0 (passa per l'origine)

Segno: la funzione è sempre positiva perchè t^2 e t^2+1 sono quantità sempre positive 

Limiti: se x tende a + o - infinito, la funzione tende a u*e*r*a/b (la frazione diventa uguale ad 1/b). quindi c'è un asintoto orizzontale.

Derivata prima: ottieni come frazione 2t/(bt^2+1) quindi la derivata è positiva se t>0

Derivata seconda: hai due flessi in + o - 1/radice(3b)

Ti allego l'immagine del grafico in modo che risulti più chiaro (i numeri scritti sul grafico non sono esatti, è solo un modo comodo per farti vedere la forma)