Problema di fisica

ρ = Q / Volume; densità di carica

Volume V della ciambella:

V = 4/3 π (2R)^3 - 4/3 π R^3 ;

V = 4/3 π (8R^3 - R^3) = 4/3 π * 7 R^3;

V = 28/3 π R^3;

ρ = 3Q /(28 π R^3) ;

Campo E per r compreso tra R e 2R; 

R < r < 2R

Teorema di Gauss, flusso del campo E attraverso una superficie chiusa che contiene la carica Q interna alla superficie:

Φ(E) = Q interna / εo

Φ(E) =  E * 4π r^2;

E  * 4π r^2 =  Q interna / εo;

E = (Q interna) / ( 4π r^2 εo);   (1)

Q interna = ρ * (Volume interno) = ρ * [4/3 π r^3 - 4/3 π R^3] ;

Q interna = 3Q /(28 π R^3)  * [4/3 π * (r^3 - R^3)];

Q interna = Q * (r^3 - R^3) / (7 R^3);

La (1) diventa:

E (r) = Q * (r^3 - R^3) / (7 R^3 * 4π r^2 εo);

E(r) = Q * (r^3 - R^3) /(28 π εo R^3 r^2);

Differenza di Potenziale ∆V: integrale di E(r) dr,  calcolato tra R e 2R;

∆V = V (R) - V(2R) =  ∫ [E(r) dr;   calcolato tra R e 2R.

∆V  = [Q / (28 π εo R^3)] *  ∫ [(r^3 - R^3) / r^2] dr; calcolato tra R e 2R;

∆V  = [Q / (28 π εo R^3)] *  ∫[r - (R^3 / r^2)] dr =

= [Q / (28 π εo R^3)] * [∫ r dr - ∫(R^3 / r^2)] dr] =

= [Q / (28 π εo R^3)] * [(r^2/2) - (- R^3/r)]; calcolato tra R e 2R;

∆V = [Q / (28 π εo R^3)] * [(4R^2/2 - R^2/2) + (R^3 /2R - R^3 / R)] =

= [Q / (28 π εo R^3)] *  [3R^2 /2 + (R^2/2 - R^2)] =

= [Q / (28 π εo R^3)] * [ [3R^2 /2 - R^2 /2] = 

= [Q / (28 π εo R^3)] * [ R^2 ]  = [Q R^2] / (28 π εo R^3);

∆V = Q / [28 π εo R] .

Ciao  @benny23