Un'asta di lunghezza a riposo $L_0=1,2 m$ si muove a velocita $v=0,60 c$ nella direzione $x$ rispetto a un sistema di riferimento S. Nel sistema di riferimento solidale con l'asta, questa forma un angolo di $45^{\circ}$ con la direzione orizzontale, come mostrato nella figura.
Determina l'angolo di inclinazione dell'asta nel sistema di riferimento $S$.
$\left[51^{\circ}\right]$
333
punti
Livello 1
La sbarra sta viaggiando a velocità relativistiche con una velocità v pari a $0,60 \cdot c$, dunque per un osservatore posto nel sistema $\mathrm{S}$ rispetto a cui la sbarra si sta muovendo essa apparirà più corta rispetto alla sua lunghezza propria.
Tale contrazione della lunghezza tuttavia avviene solo per le lunghezze che si stanno muovendo longitudinalmente rispetto alla direzione della velocità, mentre le lunghezze perpendicolari rimangono invariate in entrambi i sistemi.
Possiamo immaginare l'asta come l'ipotenusa di un triangolo rettangolo. Dunque possiamo individuare un cateto orizzontale ed uno verticale, che rappresentano le componenti orizzontale e verticale della lunghezza della barra.
Solo la componente orizzontale subirà gli effetti relativistici, mentre quella verticale rimarrà invariata.
Determiniamo anzitutto le due componenti della sbarra per l'osservatore in S:
$$
\begin{aligned}
& \Delta x_{\text {or }}^{\prime}=\Delta x^{\prime} \cdot \cos \alpha \\
& \Delta x_{v e}^{\prime}=\Delta x_{v e}
\end{aligned}
$$
in cui a è l'angolo con cui viene vista inclinata l'asta da un osservatore posto in S.
Le dimensioni invece della sbarra nel sistema di riferimento della sbarra sono:
$$
\begin{aligned}
& \Delta x_{o r}=\Delta x \cdot \cos 45=1,2 \cdot \sqrt{ } 2 / 2 m \\
& \Delta x_{\mathrm{vel}}=\Delta x \cdot \operatorname{sen} 45=1,2 \cdot \sqrt{ } 2 / 2 m
\end{aligned}
$$
Ora la lunghezza orizzontale apparirà contratta secondo la relazione relativistica:
$$
\begin{aligned}
& \Delta x_{o r}^{\prime}=\frac{1}{\gamma} \cdot \Delta x_{o r}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \cdot \Delta x_{o r} \\
& \Delta x_{o r}^{\prime}=\sqrt{1-0,6^2} \cdot 1,2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{aligned}
$$
La lunghezza verticale invece risulta costante:
$$
\Delta x^{\prime}{ }_{v e}=\Delta x_{v e}=1,2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
$$
L'angolo è l'arcotangente del rapporto tra la componente verticale e la componente orizzontale di $\Delta \mathbf{x}^{\prime}$ :
$$
\mathrm{a}=\operatorname{arctg}\left(\Delta \mathrm{x}_{\mathrm{ve}}^{\prime} / \Delta \mathrm{x}_{\mathrm{or}}^{\prime}\right)=\operatorname{arctg}(1,25)=51^{\circ}
$$
77016
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Genius II
