Una sbarra conduttrice di lunghezza $l$, massa $M$ e resistenza $R$ poggia con le sue estremità su una guida conduttrice "a Un di resistenza trascurabile. La sbarra è collegata a un filo, di massa trascurabile, che passa sopra una puleggia e ha l'altra estremità agganciata a un piccolo peso di massa $m$, tenuto inizialmente fermo a distanza $h_0$ da terra. La puleggia è bloccata (non può ruotare) e lattrito tra puleggia e filo è trascurabile. Un campo magnetico uniforme di modulo $l$ e diretto verso l'alto è presente lungo tutta la guida a $U$.
All'istante $t=0 \mathrm{~s}$ il peso viene lasciato libero di muoversi.
Spiega perché il movimento della sbarra genera un corrente $i$ e determina il suo verso. Individua le forze che agiscono sul peso e sulla sbarra e scrivi le equazioni del moto dei due oggetti. Mostra che da queste equazioni si ricava $(M+m) \frac{d}{d t} v(t)=m g-l B i(t)$, in cui $v(t)$ è la velocità dei due oggetti e $g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ è l'accelerazione di gravità.
- Ricava l'espressione della corrente $i(t)$ e mostra che l'equazione riportata nel quesito precedente può essere scritta nella forma
$$
\frac{d}{d t} v(t)=-\gamma v(t)+\frac{m}{(M+m)} g
$$
in cui il parametro $\gamma$ è
$$
\gamma=\frac{(B l)^2}{R(M+m)}
$$
Quali sono le dimensioni fisiche del parametro $\gamma$ ?
- Mostra che l'espressione
$$
v(t)=\frac{m g}{\gamma(M+m)}\left(1-e^{-\tau t}\right)
$$
è soluzione dell'equazione [1] e che la velocità aumenta nel tempo verso un valore limite. Determina tale valore limite se $M=27,0 \mathrm{~g}, m=9,0 \mathrm{~g}, l=30 \mathrm{~cm}, R=1,0 \mathrm{~m} \Omega$ e $B=10,0 \mathrm{mT}$.
- Usa gli stessi valori dei parametri forniti nel quesito precedente e il valore $h_0=1,2 \mathrm{~m}$ per mostrare che la funzione $h(t)$ che esprime l'altezza del peso in funzione del tempo è
$$
\begin{array}{r}
h(t)=(1,2 \mathrm{~m})-(9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) t+(39,2 \mathrm{~m})\left(1-e^{-\left(0,25 \mathrm{~s}^{-1}\right) \mathrm{t}}\right) \\
{\left[\left[\mathrm{t}^{-1}\right] ; v_{\mathrm{lim}}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\right]}
\end{array}
$$
