Problema di fisica

Ciao! Io per risolvere il primo punto inizierei col definire il fattore di Lorentz (dato che mi sembra che questo esercizio mostri come la forza e l'accelerazione siano correlate attraverso questo fattore), definito come:
$$\gamma = \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2}$$ Per calcolare $\frac{d\gamma}{dt}$, applichiamo la regola di derivazione delle funzioni composte. Definiamo $u = 1 - \frac{v^2}{c^2}$, cosicché $\gamma = u^{-1/2}$:

$$\begin{aligned} \frac{d\gamma}{dt} &= \frac{d\gamma}{du} \cdot \frac{du}{dt} \\ &= -\frac{1}{2} u^{-3/2} \cdot \frac{d}{dt} \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) \\ &= -\frac{1}{2} \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{-3/2} \cdot \left(-\frac{1}{c^2} \frac{dv^2}{dt}\right) \end{aligned}$$

Poiché $v^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$, la sua derivata temporale è $\frac{dv^2}{dt} = 2v \frac{dv}{dt}$. Sostituendo nell'espressione precedente:

$$\begin{aligned} \frac{d\gamma}{dt} &= \frac{1}{2} \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{-3/2} \frac{2v}{c^2} \frac{dv}{dt} \\ &= \frac{v \cdot \frac{dv}{dt}}{c^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}} \end{aligned}$$

Riconoscendo che $\gamma^3 = \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{-3/2}$, otteniamo la forma finale richiesta:
$$\frac{d\gamma}{dt} = \gamma^3 \frac{v}{c^2} \frac{dv}{dt}$$

2. Il secondo principio della dinamica in ambito relativistico lega la forza alla variazione della quantità di moto relativistica $\vec{p} = \gamma m \vec{v}$:
   $$\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt} (\gamma m \vec{v})$$ Supponendo la massa $m$ costante e applicando la regola del prodotto:
   $$\vec{F} = m \left( \frac{d\gamma}{dt} \vec{v} + \gamma \frac{d\vec{v}}{dt} \right)$$ Sostituiamo $\frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{a}$ e l'espressione di $\frac{d\gamma}{dt}$ derivata al punto 1. Notiamo che $v \frac{dv}{dt} = \vec{v} \cdot \vec{a}$:
   $$\begin{aligned} \vec{F} &= m \left( \gamma^3 \frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{c^2} \vec{v} + \gamma \vec{a} \right) \\ &= \gamma m \vec{a} + \gamma^3 m \vec{v} \frac{(\vec{v} \cdot \vec{a})}{c^2} \end{aligned}$$
3. Non so quali siano le espressioni (6) e (10) ma cmq, a partire dall'espressione generale della forza possiamo analizzare le due configurazioni geometriche fondamentali:

• Forza perpendicolare alla velocità ($\vec{F} = \vec{F}_{\perp}$):
  In questa configurazione, la forza non compie lavoro, quindi l'energia e il modulo della velocità rimangono costanti ($\frac{dv}{dt} = 0$). Di conseguenza, $\vec{v} \cdot \vec{a} = 0$. L'equazione della forza si semplifica in:
  $$\vec{F}_{\perp} = \gamma m \vec{a} + 0 \implies \vec{a} = \frac{1}{\gamma m} \vec{F}_{\perp}$$ (l'accelerazione trasversa).
• Forza parallela alla velocità ($\vec{F} = \vec{F}_{\parallel}$):
  Se la forza è parallela alla velocità, anche l'accelerazione risultante sarà parallela ad essa. Ponendo $\vec{v} \cdot \vec{a} = v a$, l'espressione diventa:
  $$\begin{aligned} \vec{F}_{\parallel} &= \gamma m \vec{a} + \gamma^3 m \vec{v} \frac{v a}{c^2} \\ &= \gamma m \vec{a} + \gamma^3 m \frac{v^2}{c^2} \vec{a} \\ &= \gamma m \vec{a} \left( 1 + \gamma^2 \frac{v^2}{c^2} \right) \end{aligned}$$
  Utilizzando l'identità algebrica $1 + \gamma^2 \frac{v^2}{c^2} = 1 + \frac{v^2/c^2}{1 - v^2/c^2} = \frac{1}{1 - v^2/c^2} = \gamma^2$, otteniamo:

  $$\vec{F}_{\parallel} = \gamma m \vec{a} (\gamma^2) = \gamma^3 m \vec{a} \implies \vec{a} = \frac{1}{\gamma^3 m} \vec{F}_{\parallel}$$

  
  (che è l'accelerazione longitudinale) ✌🏻