Il campo generato da un guscio sferico si può calcolare facilmente attraverso il teorema di Gauss.
Sappiamo infatti che il flusso del campo elettrico per un guscio sferico di raggio $R$ è:
$ \Phi(E) = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0}$
D'altra parte per la definizione di flusso e considerando la simmetria del problema, abbiamo che il flusso attraverso una superficie sferica concentrica al guscio e di raggio $r>R$ è:
$ \Phi(E) = \int_S E dS = E 4\pi r^2$
Quindi uguagliando le due espressioni abbiamo:
$ \frac{Q_{int}}{\epsilon_0} = E 4\pi r^2$
da cui
$ E(r) = \frac{1}{4\pi r^2}\frac{Q}{\epsilon_0} = \frac{1}{4\pi r^2} \frac{\sigma 4\pi R^2}{\epsilon_0} = \frac{\sigma}{\epsilon_0}\frac{R^2}{r^2}$
dove ho esplicitato la carica interna attraverso la densità superficiale $\sigma$.
Calcoliamo dunque il campo generato dal guscio sferico di raggio $R_1$ ad una distanza $r=x$:
$E_1(x) = \frac{\sigma_1}{\epsilon_0}\frac{R_1^2}{x^2} = \frac{4,0\times 10^{-6} C/m^2}{8.85 \times 10^{-12} C^2/Nm^2}\frac{(0.5 \times 10^{-2} m)^2}{x^2} = \frac{0.113 \times 10^{2}}{r^2} N m= \frac{11.3}{x^2} N m$
il campo generato dal secondo guscio va considerato ad una distanza pari a $r=L-x=0.06 m - x$:
$E_2(L-x) = \frac{\sigma_2}{\epsilon_0}\frac{R_2^2}{(L-x)^2} = \frac{2,0\times 10^{-6} C/m^2}{8.85 \times 10^{-12} C^2/Nm^2}\frac{(2 \times 10^{-2} m)^2}{(L-x)^2} = \frac{0.903 \times 10^{2}}{(L-x)^2} N m= \frac{90.3}{(L-x)^2} N m$
Notiamo che il campo generato dal primo guscio è uscente, perché la carica è positiva, mentre quello generato dal secondo guscio è entrante. Quindi nello spazio compreso tra i due gusci i campi sono concordi e non è possibile che si annullino. Il punto in cui il campo totale è nullo sarà per forza all'esterno dei due gusci, in cui i campi sono invece discordi.
Il campo totale è dunque la differenza tra i due campi trovati:
$ E = E_1 - E_2$
poiché vogliamo che sia nullo, poniamo:
$ 0 = E_1 - E_2 \rightarrow E_1=E_2$
sostituendo i valori trovati:
$\frac{11.3}{x^2} N m = \frac{90.3}{(0.06-x)^2} N m$
$ 11.3(0.06-x)^2 = 90.3 x^2$
$ 11.3(0.0036 - 0.12x + x^2) = 90.3x^2$
$ 0.04068 - 1.356 x + 11.3 x^2 = 90.3 x^2$
$ 79x^2 +1.356x -0.04068 = 0$
otteniamo le soluzioni:
$ x_1 = -0.03 m = -3 cm$
$ x_2 = 0.016 m = 1.6 cm$
Delle due, la seconda soluzione non è accettabile perché ci restituisce un valore compreso tra i gusci.
Quindi il punto in cui il campo è nullo si trova a 3cm a sinistra del guscio di raggio $R_1$.
Noemi
