Problema di Cauchy

x = ln t  non risponde al problema perché non é costante.

Devi dunque scartarla e resta solo l'altra classe di soluzioni.

Tu hai scritto «ho trovato che le soluzioni costanti sono ... x=ln(t). Ma x=ln(t) non è costante.», che è un'evidente contraddizione seguita dall'immediata rilevazione che è una contraddizione, ma l'hai scritto senza senza esserti reso conto che l'avevi rilevata.
Il tuo "Ma" non dovevi riferirlo al fatto che ln(t) non è costante, quanto al fatto d'aver asserito d'averla trovata fra "le soluzioni costanti"!
Quindi avresti dovuto editare il periodo precedente in «Il secondo punto non capisco bene perché ho trovato che l'unica soluzione costante è x = k*π, con k intero.» e, rileggendolo, esclamare "Oddioddio, che mi vado a sognare? Mi serve altro caffè!".
Quando uno si alza molto presto per studiare finché il mattino ha ancora l'oro in bocca corre il rischio che la carenza di sonno lo faccia continuare a sognare mentre pensa di stare studiando.
"Quindi cosa devo concludere?"
A mio parere dovresti concludere che non c'è nulla di grave nel prendere una svista alle otto e mezza del mattino, ma che le cause che l'hanno provocata potrebbero costituire un segnale d'allarme: lo studio è sicuro se condotto senza cause di sforzo fisico perché già è stressante l'impegno mentale.
Anche per una preparazione a ritmo serrato devi garentire al tuo corpo alimentazione calorica e di facile digestione, postura rilassata e soprattutto sonno abbondante (ma non troppo) e frazionato in almeno due periodi di cui il più lungo notturno. Le cose imparate dopo una levataccia difficilmente restano chiare fino all'esame.
Ti saluto con l'augurio di buon esame che s'usava decennii fa: in bocca al lupo e in @##@ alla balena!