Le funzioni

Per il regolamento SOS Matematica è doveroso richiedere un solo quesito per volta.

Problema:

Studia il segno della seguente funzione nel suo dominio e trova eventuali punti di intersezione con gli assi. Rappresenta nel piano cartesiano la zona in cui si trova il grafico.

$y=x^7-x^3$

Soluzione:

Si nota subito che la funzione è definita su tutto $\mathbb{R}$.

La funzione ha segno positivo quando $y>0$ e segno negativo quando $y<0$. Nella pratica basta risolverne solo una per determinare anche l'altra. 

La funzione è positiva per $y>0 \implies x^7-x^3>0 \implies x^3(x^4-1)>0 \implies x \in (-1,0) \cup (1, +\infty)$. Poiché il dominio è molto regolare si conclude che è negativa in $x \in (-\infty, -1) \cup (0,1)$, ossia nel complementare dell'insieme di positività.

Le intersezioni con l'asse $x$ sono gli zeri della funzione, ossia quando questa è tale che $y=0 \implies x^7-x^3=0 \implies x^3(x^4-1)=0 \implies x=0, x=\pm 1$. 

Le intersezioni con l'asse $y$ sono date da $x=0$, ma quando $x=0$ si ha che $y=0$.

I punti di intersezione con gli assi sono dunque $(-1,0), (0,0), (1,0)$.

Il seguente grafico mostra dove si trova la funzione nei vari intervalli: