Problema di Analisi

Preliminari

• $ y(x) = e^{\frac{ax-b}{x+c}}   \quad ⇒ \quad y(0) = e^{-\frac{b}{c}} $
• $ y'(x) = \frac{(ac+b)e^{\frac{ax-b}{x+c}} } {(c+x)^2} \quad ⇒ \quad y'(0) = \frac{(ac+b) e^{-\frac{b}{c}} }{c^2} $
• y"$(x) = \frac{(ac+b)e^{\frac{ax-b}{x+c}} ((a-2)c+b-2x)} {(c+x)^4} \quad ⇒ \quad $y"$(0) = \frac{(ac+b) e^{-\frac{b}{c}} ((a-2)c +b)}{c^4} $

a.  Imponiamo il flesso per x = 0 cioè y"(0) = 0. si hanno due possibilità

1. ac+b = 0  ⇒  b = -ac
2. (a-2)c + b = 0  ⇒  b = (2-a)c

b. Imponiamo la tangente y = 2x/e + 1/e

Dalla formula della tangente (Taylor primo ordine)

y(x) = y(0) + y'(0)*(x-0)  ricaviamo

1. y(0) = 1/e
2. y'(0) = 2/e

dalle formula preliminari avremo

1. $ e^{-\frac{b}{c}} = e^{-1} \; ⇒ \; b = c $
2. $ \frac{(ab+b)\frac{1}{e}} {b^2} = \frac{2}{e} \; ⇒ \; \frac{a+1}{b} = 2 \; ⇒ \; a = 2b-1 $

nota: l'ultima relazione richiede b ≠ 0

Abbiamo trovato per le due alternative 3 equazioni nelle tre incognite a, b, c. Risolviamo con il sistema associato.

i) Primo sistema. 

b=c; a = 2b-1; b = -ac  il cui risultato è a = -1 ∧ b = 0 ∧ c = 0. Da scartare, b = 0  non è accettabile

ii) Secondo sistema. 

b=c; a = 2b-1; b = (2-a)c  il cui risultato è a = 1 ∧ b = 1 ∧ c = 1

La funzione cercata è 

$ y(x) = e^{\frac{x-1}{x+1}} $

Verifica.

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