Funzioni

$ y(x) = \frac{x}{x^2-4} = \frac{x}{(x-2)(x+2)} $

i) funzione y(x)

• Dominio = ℝ\{-2, +2}
  • due punti di discontinuità x = -2; x = +2
  • La funzione è del tipo razionale fratta quindi continua e derivabile laddove definita.

• Simmetria. y(x) è una funzione dispari, rapporto tra una dispari e una pari.

• Zeri. y(x) = 0 per x = 0

• Asintoti
  • Verticali
    •  x = -2
    • $ \displaystyle\lim_{x \to -2^-} y(x) = -\infty $
    • $ \displaystyle\lim_{x \to -2^+} y(x) = +\infty $
    • E' un asintoto verticale di equazione x = -2

• • • x = +2
    • $ \displaystyle\lim_{x \to +2^-} y(x) = -\infty $
    • $ \displaystyle\lim_{x \to +2^+} y(x) = +\infty $
    • E' un asintoto verticale di equazione x = 2

• Asintoti orizzontali
  • $ \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} y(x) = 0 $
  • E' un asintoto orizzontale di equazione y = 0

• Segno

______-2_______0______2_____

--------------------0++++++++++   x

++++X----------------------X++++   /(x²-4)

-------X++++++0----------X++++   y(x)

1. y(x) < 0 in (-∞, -2) e in (0, 2)
2. y(x) = 0 per x = 0
3. y(x) > 0 in (-2, 0) e in (2, +∞)

ii) Derivata prima.

$y'(x) = -\frac{x^2+4}{(x^2-4)^2} $

• Segno derivata prima
  • y'(x) < 0  in tutto il dominio della funzione. y(x) è monotona strettamente crescente in ogni intervallo che compone il dominio. nota: NON è una funzione (globalmente) monotona 
  • y'(x) = 0 In nessun punto, non vi sono massimi/minimi relativi

iii) Derivata seconda.

• y"$(x) = \frac{2x(x^2+12)}{(x^2-4)^3} $

• Segno derivata seconda; Flessi e concavità

_____-2_____0_____+2_____

----------------0++++++++++  2x(x²+12)

++++X------------------X++++   (x²-4)³

-------X++++0---------X++++    y"(x)

1. y"(x) < 0  in (-∞, -2) e in (0, 2); la funzione y(x) è ivi concava
2. y"(x) = 0  per x = 0. questo è un punto di flesso 
3. y"(x) > 0  in (-2, 0) e in (2, +∞); la funzione y(x) è ivi convessa.

• Grafico

https://www.desmos.com/calculator/1snrolvgg2