[Risolto] Problema di algebra prima superiore

Utilizzando il teorema di Pitagora, applicato al triangolo rettangolo i cui cateti sono la semicorda e la distanza dal centro mentre l'ipotenusa è il raggio, proviamo a calcolare come segue:

$r^2-\big(\frac{1}{2}×\frac{8}{5}r\big)^2 = \big(22-\frac{8}{5}r\big)^2$ 

$r^2-\big(\frac{4}{5}r\big)^2 = 22^2-\frac{352}{5}r+\frac{64}{25}r^2$

$r^2-\frac{16}{25}r^2 = 484-\frac{352}{5}r +\frac{64}{25}r^2$ (mcm= 25) quindi:

$25r^2-16r^2 = 12100-1760r+64r^2$

$9r^2 = 12100-1760r+64r^2$

$9r^2-64r^2 +1760r = 12100$ eguaglia a zero:

$-55r^2+1760r -12100 = 0$ dividi tutto per $-55$:

$r^2 -32r +220 = 0$

equazione di secondo grado completa quindi risolviamo con i seguenti dati:

$a= 1$;

$b= -32$;

$c= 220$;

calcoliamo la discriminante:

$∆= b^2-4ac = (-32)^2-4×1×220 = 1024-880 = 144$

formula risolutiva:

$r_{1,2}=\frac{-b±\sqrt{∆}}{2a} = \frac{-(-32)±\sqrt{144}}{2×1} = \frac{32±12}{2}$

quindi risulta:

$r_1= \frac{32-12}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$r_2= \frac{32+12}{2} = \frac{44}{2} = 22$

per il raggio prendiamo $r_1= 10~cm$ poiché con $r_2=22~cm$ sarebbe uguale alla corda + la distanza di essa dal centro, che non può essere.

Indichiamo con:

x=distanza della corda da O

Valgono le relazioni:

{(r+x) (r-x) = (16/25)*r²  => x²=(9/25)*r²

{x+(8/5)*r = 22

{x=(3/5)*r

{(11/5)*r = 22

Da cui si ricava:

r= 10 cm

• In una circonferenza di centro O viene condotta una corda AB, la cui lunghezza è 8/5 del raggio della circonferenza OB . La somma della lunghezza della corda e della sua distanza dal centro è AB+OH = 22 cm ; quanto è lungo il raggio OB della circonferenza?

OH = √r^2-16R^2/25   = √9r^2/25  = 3r/5

3r/5+8r/5  = 11r/5 = 22 cm 

r = 22/11*5  = 10,0 cm 

Tracciata la figura, osserviamo che HB = 1/2 AB = 1/2 * 8/5 r = 4/5 r.

Per il Teorema di Pitagora, essendo OHB rettangolo in H, risulta

OH^2 = OB^2 - HB^2 = r^2 - (4/5 r)^2 = r^2 - 16/25 r^2 = 9/25 r^2

OH = 3/5 r

e dall'enunciato del problema AB + OH = 22 cm

seguirà 8/5 r + 3/5 r = 22 cm

11 r = 22 cm * 5

r = 110/11 cm = 10 cm.