In un triangolo rettangolo di ipotenusa $B C$, risulta $\overline{A B}=9 a$ e $A C=8 a$. Determina un punto $P$ sul cateto $A B$ e un punto $Q$ sul cateto $A C$, in modo che risulti $B P \cong P Q \cong Q C$.
$[$ Posto $\overline{P B}=\overline{Q C}=x$, si trova che $x=5 a]$
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Livello 0
Non seguo suggerimenti, faccio di testa mia. Con riferimento alla figura scrivo il sistema:
{8·a - y = 9·a - x
{9·a - x = √(x^2 + y^2)
Procedo per sostituzione:
y = x - a
9·a - x = √(x^2 + (x - a)^2)
9·a - x = √(2·x^2 - 2·a·x + a^2)
elevo al quadrato:
(x - 9·a)^2 = 2·x^2 - 2·a·x + a^2
2·x^2 - 2·a·x + a^2 - (x^2 - 18·a·x + 81·a^2) = 0
x^2 + 16·a·x - 80·a^2 = 0
(x - 4·a)·(x + 20·a) = 0
Risolvo:
x = - 20·a ∨ x = 4·a
(scarto la prima)
y = 4·a - a----> y = 3·a
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Genius III
@lucianop 👍👍
Una volta tracciata la figura descritta si vede che il segmento PQ è ipotenusa del triangolino rettangolo che residua dal distacco di BP e CQ; in unità di "a" si scrive
* (|PQ|^2 = (9 - |PQ|)^2 + (8 - |PQ|)^2) & (|PQ| < 8) ≡
≡ (x^2 = (9 - x)^2 + (8 - x)^2) & (x < 8) ≡
≡ ((9 - x)^2 + (8 - x)^2 - x^2 = 0) & (x < 8) ≡
≡ (x^2 - 34*x + 145 = 0) & (x < 8) ≡
≡ ((x = 5) oppure (x = 29)) & (x < 8) ≡
≡ (x = 5) & (x < 8) oppure (x = 29) & (x < 8) ≡
≡ (x = 5) oppure (insieme vuoto) ≡
≡ x = 5
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Genius I
