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[Risolto] Problema d'esame

  

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L'arco di curva $\gamma_{1}$ rappresentato in figura appartiene al grafico della funzione
$$
f(x)=a x\left(x^{2}-b\right) .
$$
$\gamma_{1}$ è inscritto nel parallelogramma $A B C D$. I lati $A D$ e $B C$ sono paralleli all'asse $y$, mentre $A B$ e $C D$ sono tangenti a $\gamma_{1}$ nei punti $P$ e $Q$, rispettivamente punti medi dei segmenti $B S$ e $D R$.
1. Ricava i valori dei parametri $a$ e $b$ usando i dati nel grafico e le ipotesi. Motiva il procedimento.
2. Dopo aver dimostrato che $a=2$ e $b=1$, considera la funzione $f(x)$ che trovi per questi valori dei parametri. Studia $f(x)$ nell'intervallo $[-\sqrt{2} ; \sqrt{2}]$.

Verifica che il grafico di $f(x)$ ha un punto di flesso nell'origine del sistema di riferimento. Determina l'equazione della retta $t$ tangente a $\gamma_{1}$ nell'origine e verifica che $t$ e la retta $A C$, diagonale del parallelogramma, si corrispondono in una simmetria rispetto all'asse delle ordinate.
3. Verifica che la funzione $f(x)$ soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo $[-\sqrt{2} ; \sqrt{2}]$. Determina i punti dell'intervallo che soddisfano la tesi.

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@frank9090

Ciao.

La funzione è una cubica: siccome manca dei termini di grado pari:

y = a·x·(x^2 - b)------> y = a·x^3 - a·b·x

per valori non nulli di a e b è una funzione dispari quindi presenta simmetria rispetto all'origine.

Tale funzione è definita in un parallelogramma che ha per lati le rette:

x = - √2 ;   x =  √2 come lati verticali

y = - √2 + x ; y = √2 + x come lati obliqui

image

continuo dopo pranzo...

Riprendo

I punti P e Q di tangenza sono punti medi e quindi hanno coordinate: 

y = - √2 + √2/2----> y = - √2/2----> P(√2/2, - √2/2)

y = √2 + (- √2/2)-----> y = √2/2----> Q(- √2/2, √2/2)

Come c'era da immaginarsi vista la simmetria suddetta.

Si riconosce che le rette tangenti hanno m = 1 che rappresenta il valore della derivata in corrispondenza dei due punti:

 y '= dy/dx= a·(3·x^2 - b)

Il passaggio per P ed il significato geometrico d derivata in P indicano il sistema risolvente:

{- √2/2 = a·(√2/2)·((√2/2)^2 - b)

{a·(3·(√2/2)^2 - b) = 1

cioè:

{- √2/2 = a·(√2/4 - √2·b/2)

{a·(3/2 - b) = 1

che fornisce: [a = 2 ∧ b = 1]

quindi la funzione: y = 2·x·(x^2 - 1)

Intersezioni con  asse x:

{y = 2·x·(x^2 - 1)

{y = 0

quindi: 2·x·(x^2 - 1) = 0----> x = -1 ∨ x = 1 ∨ x = 0

Quindi i punti H,O, K

Segno:

y>0 se  2·x·(x^2 - 1) > 0-----> -1 < x < 0  ∨   1<x<√2

y<0 se  2·x·(x^2 - 1) < 0-------> - 

Il segno della derivata y' indica la crescenza e decrescenza:

2·(3·x^2 - 1) > 0-----> -√2<x < - √3/3  ∨  √3/3<x< √2

2·(3·x^2 - 1) < 0-----> - √3/3 < x < √3/3

2·(3·x^2 - 1) = 0----> x = - √3/3 ∨ x = √3/3

Quindi nell'ordine un max relativo ed un min relativo

La funzione soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange e di esso ce ne siamo serviti sopra per determinare i coefficienti a e b della funzione.

Derivata y''= 12x

Indica un flesso per x=0

concavità verso l'alto per x>0 e verso il basso per x<0

Retta tangente in O:

m= 2·(3·0^2 - 1) = -2-------> y=-2x

che risulta simmetrica rispetto all'asse delle y della retta:

(y + 2·√2)/(x + √2) = (2·√2 + 2·√2)/(√2 + √2) per A e B della figura allegata

y = 2·x

 

 

 

 

 

 




3

Svolgo il punto 1 - il resto dovrebbe venire di conseguenza

La curva presenta simmetria dispari

ed é tangente alla retta y = x - rad(2)

nel punto P = (rad(2)/2, - rad(2)/2)

y = ax^3 - ab x

y' = 3ax^2 - ab

-rad(2)/2 = a/2 rad(2)/2 - ab rad(2)/2                       passaggio per P

1 = 3a/2 - ab                                                           tangenza

le riscriviamo come

-1 = a/2 - ab

1 = 3a/2 - ab

sottraendo

2 = a

a = 2

e 1 = 3/2 *2 - ab

ab = 3 - 1 = 2

b = 2/a = 2/2 = 1

y = 2x(x^2 - 1)

 

Risposta



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