Problema derivate e integrali definiti

Ciao @omnisang

Hai due funzioni in grafico:

y = a·x/(x^4 + b) ove sono da determinare a e b

ed una semicirconferenza positiva

Quindi la seconda è:

(x - 1)^2 + y^2 = 1------> y = - √(x·(2 - x)) ∨ y = √(x·(2 - x))

Determiniamo quindi a e b

1 = a·1/(1^4 + b) ----------> a/(b + 1) = 1

y'=dy/dx=a·(b - 3·x^4)/(x^4 + b)^2 che si annulla per x = 1/3^(1/4)

a·(b - 3·(1/3^(1/4))^4)/((1/3^(1/4))^4 + b)^2 = 0

Quindi si risolve un sistema:

{9·a·(b - 1)/(3·b + 1)^2 = 0

{a/(b + 1) = 1

per sostituzione:   a = b + 1

9·(b + 1)·(b - 1)/(3·b + 1)^2 = 0------> b = -1 ∨ b = 1

Per b=-1----> a = -1 + 1-----> a = 0 che escludiamo (si avrebbe y=0)

Per b=1-----> a = 1 + 1----> a = 2

quindi: y = 2·x/(x^4 + 1)

Quindi ricerchiamo le intersezioni:

2·x/(x^4 + 1) = √(x·(2 - x))

Si riconoscono x=0 ed x=1:

2·0/(0^4 + 1) = √(0·(2 - 0))----> 0 = 0

2·1/(1^4 + 1) = √(1·(2 - 1))------> 1 = 1

Se S1=S2, vuol dire che la differenza delle due funzioni:

2·x/(x^4 + 1) - √(x·(2 - x))

Integrata tra x=0 ed x=1 fornisce integrale definito nullo.

∫(2·x/(x^4 + 1)dx = ATAN(x^2)

∫(√(x·(2 - x))dx = ASIN(x - 1)/2 + (x - 1)·√(x·(2 - x))/2

Quindi:

ATAN(x^2) - (ASIN(x - 1)/2 + (x - 1)·√(x·(2 - x))/2) integrale indefinito

ATAN(0^2) - (ASIN(0 - 1)/2 + (0 - 1)·√(0·(2 - 0))/2) = pi/4

ATAN(1^2) - (ASIN(1 - 1)/2 + (1 - 1)·√(1·(2 - 1))/2) = pi/4

Pi/4 -pi/4 = 0

Quindi aree di figura uguali.

Siccome risulta:

LIM(ATAN(x^2) - (ASIN(x - 1)/2 + (x - 1)·√(x·(2 - x))/2)) = pi/4

x---->+∞

pari al valore calcolato  per x=1 precedentemente, risulta pure S3=S4

 

 

 

Ho provato a svolgerlo. La prima parte, la ricerca di a e b, non presenta particolari difficoltà. 

Anche gli integrali coinvolti nell'ultima parte sono relativamente semplici in quanto si riconducono abbastanza agevolmente a forme note. 

Nella parte intermedia però, appare un'equazione polinomiale decimo grado, che é quella

che scaturisce da

rad(2x - x^2) = 2x/(1+x^4) 

ovvero 

(x^4 + 1)^2 * (2x - x^2) = 4x^2

(x^8 + 2x^4 + 1) (x^2 - 2x) + 4x^2 = 0

x^10 - 2x^9 + 2x^6 - 4x^5 + x^2 - 2x + 4x^2 = 0

 

x^10 - 2x^9 + 2x^6 - 4x^5 + 5x^2 - 2x = 0

x (x^9 - 2x^8 + 2x^5 - 4x^4 + 5x - 2 ) = 0

x (x - 1) * P8(x) = 0

Quel polinomio di ottavo grado si ottiene facendo la divisione. 

Non so se le radici siano razionali, ma quelle che ci interessano - comprese in [0,2] -

certamente non lo sono. Possiamo diagnosticarne l'esistenza grazie al Teorema degli Zeri, in 

[0,1] e in [1,2],

ma per dedurne un valore approssimato ci serve un metodo ricorsivo. Hai studiato la bisezione, 

o le tangenti di Newton ? ... 

 

https://www.desmos.com/calculator/v3so7z2umm

 

I valori delle radici - confini degli intervalli - saranno approssimati e così le stime delle aree.

Non riesco a vedere un modo per far quadrare i calcoli in modo esatto perché i risultati degli integrali sono in parte trascendenti.

 

* Γ1 ≡ ((x - 1)^2 + y^2 = 1) & (y > 0)
* Γ2 ≡ f(x) = (y = a*x/(x^4 + b)) & (x >= 0) & (a > 0) & (b > 0)
* f'(x) = a*(b - 3*x^4)/(x^4 + b)^2
* f''(x) = 4*a*(3*x^4 - 5*b)*x^3/(x^4 + b)^3
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Punto A
Si ha un massimo relativo da
* (y' = 0) & (y'' < 0) & (x >= 0) & (a > 0) & (b > 0) ≡
≡ (b - 3*x^4 = 0) & ((3*x^4 - 5*b)*x^3/(x^4 + b)^3 < 0) & (x >= 0) & (b > 0) ≡
≡ (x^4 = b/3) & ((3*b/3 - 5*b)*(b/3)^(3/4)/(b/3 + b)^3 < 0) & (x >= 0) & (b > 0) ≡
≡ (x^4 = b/3) & (- (9/16)*3^(1/4)/b^(5/4) < 0) & (x >= 0) & (b > 0) ≡
≡ (x^4 = b/3) & (b > 0) & (x >= 0) & (b > 0) ≡
≡ (x = √(√(b/3))) & (b > 0) & (x >= 0)
imponendo il vincolo
* x = √(√(b/3)) = √(√(1/3))
si ha
* b = 1
* Γ2 ≡ f(x) = (y = a*x/(x^4 + 1)) & (x >= 0) & (a > 0)
* f'(x) = a*(1 - 3*x^4)/(x^4 + 1)^2
* f''(x) = 4*a*(3*x^4 - 5)*x^3/(x^4 + 1)^3
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All'ascissa x = 1 si ha
* da Γ1: y = 1 (all'ascissa del centro l'ordinata è il raggio)
* da Γ2: f(1) = (y = a/2) & (a > 0)
cioè
* a = 2
* Γ2 ≡ f(x) = (y = 2*x/(x^4 + 1)) & (x >= 0)
* f'(x) = 2*(1 - 3*x^4)/(x^4 + 1)^2
* f''(x) = 8*(3*x^4 - 5)*x^3/(x^4 + 1)^3
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Punto B
Le aree S1 e S2 sono equivalenti se e solo se la differenza
* Γ1 - Γ2 =
= (√((2 - x)*x) - 2*x/(x^4 + 1)) & (0 < x < 2)
ha integrale nullo dall'inizio di S1 alla fine di S2
* S = S1 + S2 = ∫ [x = 0, 1] (√((2 - x)*x) - 2*x/(x^4 + 1))*dx = 0
QED
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Dettaglio
∫ (√((2 - x)*x) - 2*x/(x^4 + 1))*dx =
= (x - 1)*√((2 - x)*x)/2 - arctg(x^2) - arcsin(√(1 - x/2)) + c
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Punto C
Stesso ragionamento del Punto B, con un paio di varianti:
1) la differenza si integra solo fra uno e due, poi c'è solo la Γ2;
2) il secondo pezzo è un integrale improprio che ti richiede un limite.
Come dicevano ai miei tempi i professori quand'erano stufi di fare calcoli «Il resto te lo lascio come utile esercizio.»