[Risolto] perimetro triangolo rettangolo con le equazioni

Chiamando $x$ e $y$ i cateti, si ha che l'area è data da 

$xy=20a^2$

mentre il teorema di Pitagora ci dice che

$x^2+y^2=41a^2$

ricavando $y$ dalla prima equazione:

$y=\frac{20a^2}{x} $

e sostituendo nella seconda:

$x^2+\frac{400a^4}{x^2}=41a^2$

che porta all'equazione di quarto grado

$x^4-41a^2x^2+400a^4=0$

adesso basta sotituire $t=x^2$ in modo da ottenere un'eq. di secondo grado in $t$:

$t^2-41a^2t+400a^4=0$

adesso la puoi risolvere in $t$ e poi ricavare $x$ e quindi $y$.

AGGIUNTA: svolgimento finale.

$\Delta=41^2a^4-1600a^4=81a^4=(9a^2)^2$

$t_1=\frac{41a^2+9a^2}{2}=25a^2$

$t_2=\frac{41a^2-9a^2}{2}=16a^2$

quindi

$x_1=\sqrt{t_1}=5a$

$x_2=\sqrt{t_2}=4a$

Questi due valori sono già i due valori dei due CATETI!

quindi diciamo che $x=5a$ e $y=4a$, pertanto il perimetro vale:

$p=5a+4a+a\sqrt{41}=a(9+\sqrt{41})$

che è il risultato atteso!

 

 

In un triangolo rettangolo di lati
* 0 < a <= b < c = √(a^2 + b^2)
l'ipotenusa è lunga
* c = √(a^2 + b^2)
e l'area A, semiprodotto dei cateti, è
* A = a*b/2
con le limitazioni
* 0 < A <= c^2/4
perché
* A = a*b/2 <= (a^2 + b^2)/4 ≡ (b - a)^2 >= 0 ≡ VERO per l'ipotesi "0 < a <= b"
---------------
Il sistema delle relazioni della precedente definizione è
* (A = a*b/2) & (c = √(a^2 + b^2)) & (0 < a <= b) & (0 < A <= c^2/4) ≡
≡ (a = (1/√2)*√(√(c^4 - 16*A^2) + c^2)) & (b = 2*A/a)
==============================
NEL CASO IN ESAME
dove, per evitare confusioni, il parametro "a" si rinomina "k"
------------------------------
* A = k^2
* c = k*√41
* c^2 = 41*k^2
* c^4 - 16*A^2 = (k*√41)^4 - 16*(k^2)^2 = 1665*k^4
* √(a^2 + b^2) = √(1665*k^4) = (3*√185)*k^2
* a = (1/√2)*√(√(c^4 - 16*A^2) + c^2) = √((41 + 3*√185)/2)*k = ((3*√5 + √37)/2)*k
* b = 2*A/a = 2*k^2/(((3*√5 + √37)/2)*k) = ((3*√5 - √37)/2)*k
* perimetro p = a + b + c = ((3*√5 + √37)/2)*k + ((3*√5 - √37)/2)*k + k*√41 =
= (3*√5 + √41)*k
CHE PROPRIO NON C'ENTRA COL RISULTATO ATTESO (ma è corretto, spero!).

------------------------------
AGGIUNTA (dopo aver visto il commento "10 a^2 !! non a^2 che strano ero sicura di aver scritto bene")
* A = 10*k^2
* c = k*√41
* c^2 = 41*k^2
* c^4 - 16*A^2 = (k*√41)^4 - 16*(10*k^2)^2 = 81*k^4 = (81*k)^4
* √(a^2 + b^2) = √(1665*k^4) = (3*√185)*k^2
* a = (1/√2)*√(√(c^4 - 16*A^2) + c^2) = (1/√2)*√(√((81*k)^4) + (41*k^2)^2) =
= (1/√2)*√((81*k)^2 + (41*k^2)^2) =
= (1/√2)*√((1681*k^2 + 6561)*k^2)
* b = 2*A/a = 2*10*k^2/((1/√2)*√((1681*k^2 + 6561)*k^2)) = (20*√2)*k^2/√((1681*k^2 + 6561)*k^2)
* perimetro p = a + b + c =
= (1/√2)*√((1681*k^2 + 6561)*k^2) + (20*√2)*k^2/√((1681*k^2 + 6561)*k^2) + k*√41 =
= (41*(41*k^2 + 161)*|k|)/√(3362*k^2 + 13122) + (√41)*k
CHE NON EGUAGLIA IL RISULTATO ATTESO per ogni k, ma solo per
* (41*(41*k^2 + 161)*|k|)/√(3362*k^2 + 13122) + (√41)*k = (9 + √41)*k ≡
≡ k = 0
---------------
BOH, BOH, BOH!