Ciao, non riesco proprio a capire come fare questo esercizio e spero mi possiate aiutare.
Considera un triagolo ABC e indica con M il punto medio del lato BC. La parallela per M al AB interseca AC in N; la parallela per M al lato AC interseca AB in Q. Dimostra che l'area del parallelogramma AQMN è la metà dell'area del triangolo ABC.
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Livello 1
Ciao Marco
Ti scrivo la dimostrazione e ti allego figura
Prima di tutto devi notare che i triangoli QBM e NMC sono uguali per il 2º Criterio di Congruenza dei Triangoli:
CM = MB
Angoli
MBQ = CMN
MQB = CNM
Conseguentemente hanno tutti i lati uguali
QB = NM
CN = QM
MH = CK Altezze relative so lati QB ed NM rispettivamente
Calcolo l’area del triangolo ABC, At,
At = (AB)(CF)/2
Dove
AB = 2QB = 2NM
CF = 2CK = 2MH
Calcolo l’area del parallelogramma ANMQ, Ap
Ap = (AF)(MH)
Dove
AF = QB
Quindi
At = (2QB)(2MH)/2 = 2(QB)(MH) = Ap/2
Ap = (QB)(MH)
Che è quanto di voleva dimostrare.
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Livello 6
Per il teorema di Talete, essendo M il punto medio del lato, sono simili i triangoli CMN e ABC con rapporto di similitudine k=1/2.
Quindi il rapporto tra le rispettive aree è 1/4.
Per lo stesso motivo sono simili con rapporto di similitudine k=1/2 i triangoli BMQ e ABC.
Quindi il rapporto di similitudine tra le rispettive aree è 1/4.
La somma delle aree dei triangoli CMN E BMQ è quindi 1/2 dell'area del triangolo ABC.
Quindi l'area del parallelogramma AQMN risulta essere la metà dell'area del triangolo ABC.
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Genius II
