Problema con le funzioni goniometriche

FOTO DRITTA!!

y = 2·SIN(x)^2 - 2·COS(x)·SIN(x) + k

passa per [0, -1]

-1 = 2·SIN(0)^2 - 2·COS(0)·SIN(0) + k

-1 = k----> k = -1

y = - 2·SIN(x)·COS(x) + 2·SIN(x)^2 - 1

Essendo:

2·SIN(x)^2 - 1= 2·SIN(x)^2 - (SIN(x)^2 + COS(x)^2)= SIN(x)^2 - COS(x)^2=

= - COS(2·x)

allora la funzione data (ottenuta) può scriversi:

y = - SIN(2·x) - COS(2·x)

La poniamo nella forma:

y = Α·SIN(2·x + φ) utilizzando quindi il metodo dell'angolo aggiunto

Α·SIN(2·x + φ) = Α·(SIN(2·x)·COS(φ) + SIN(φ)·COS(2·x))

Per confronto abbiamo:

{Α·COS(φ) = -1

{Α·SIN(φ) = -1

Dividendo membro a membro :

TAN(φ) = 1---- >φ = pi/4

{Α·COS(pi/4) = -1

{Α·SIN(pi/4) = -1

Otteniamo in entrambi i casi: Α = - √2

Ne consegue che la funzione data può scriversi: y = - √2·SIN(2·x + pi/4)

Il periodo della funzione trigonometrica lo si deduce dal coefficienti 2 della x: quindi  vale

Τ = pi

Nell'intervallo [0, pi] si annulla per

SIN(α + pi/4) = 0-----> α = 3·pi/4----> x = 3·pi/8

quindi in A(3/8pi,0) ed in 3/8·pi + pi/2 = 7·pi/8

B(7·pi/8, 0)

(il punto B è situato più a destra rispetto ad A di mezza lunghezza d'onda. Tenendo presente che il periodo è pi)

-----------------------------

- √2·SIN(2·x + pi/4) < -1

Quindi in base al grafico la f(x) vale

- √2·SIN(2·x + pi/4) = -1

x = pi/4 v x = 0

Da cui la soluzione indicata nel testo..

Il periodo T è pi greco, nel caso in cui non si leggesse bene.