[Risolto] problema con la parabola 3 liceo svientifico

Quindi hai trovato le due parabole:

x = - 1/2·y^2 + 2·y + 6

x = 1/2·y^2 - 2·y - 6

A mio avviso per semplificare il problema è opportuno considerare la doppia simmetria che il punto P appartenente alla prima parabola ha rispetto all'asse delle y ed all'asse stesso della parabola cioè y=2.

Questo punto P ha coordinate: [- 1/2·y^2 + 2·y + 6, y]

Ogni lato orizzontale misura quindi: 2·(- 1/2·y^2 + 2·y + 6)

Ogni lato verticale misura quindi: 2·(y - 2)

Il semiperimetro è la somma:

2·(- 1/2·y^2 + 2·y + 6) + 2·(y - 2) = 26/2

(- y^2 + 4·y + 12) + (2·y - 4) - 13 = 0

- y^2 + 6·y - 5 = 0

(1 - y)·(y - 5) = 0

quindi 2 possibilità:

y = 5 ∨ y = 1

Per y = 5

[- 1/2·5^2 + 2·5 + 6, 5]------>[7/2, 5]

L'altra possibilità la scarti in quanto l'ordinata è inferiore a 2

Gli altri punti li ottieni sfruttando questa doppia simmetria.

(penso non ci siano problemi!)

Non capisco il significato di «pag.349 n.57», però ti spiego come localizzare i vertici (quattro, non tre!).
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Ogni parabola Γ non degenere di apertura a != 0, asse y = 2 e vertice V(k, 2) ha equazione della forma
* Γ(k) ≡ x = k + a*(y - 2)^2
Quelle che intercettano sull'asse y una corda lunga 8 devono passare per (0, - 2) e per (0, 6), cioè soddisfare al vincolo
* 0 = k + a*(± 4)^2 ≡ a = - k/16
da cui
* Γ(k) ≡ x = k*(1 - (y - 2)^2/16)
e fra queste quella che passa per il punto (6, 0) si determina da
* 6 = k*(1 - (0 - 2)^2/16) ≡ k = 8
ottenendo
* Γ1 ≡ Γ(8) ≡ x = 8*(1 - (y - 2)^2/16) ≡ x = - y^2/2 + 2*y + 6
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La Γ2, simmetrica di Γ1 rispetto all'asse y, si ottiene cambiando segno alla x
* Γ2 ≡ Γ(- 8) ≡ x = y^2/2 - 2*y - 6
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La parte di piano delimitata da Γ1 e Γ2 ha un centro di simmetria in C(0, 2) che deve risultare punto medio delle diagonali del rettangolo richiesto i cui vertici, se i lati sono paralleli agli assi, sono in simmetria quadrantale rispetto a C.
Ad esempio, la retta x = k interseca Γ2 in y = 2 ± √(2*(k + 8)) individuando, del rettangolo di base b = 2*k,
* i vertici (± k, 2 ± √(2*(k + 8)))
* l'altezza h = 2*√(2*(k + 8))
da cui il vincolo sul perimetro
* p(k) = 2*(b + h) = 2*(2*k + 2*√(2*(k + 8))) = 26 ≡ k = 15/2 - √30
che determina i vertici
* (± (15/2 - √30), 2 ± (√30 - 1))
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NB: non giuro sui numeri, ma solo sulla procedura.