Problema con incognita

3a = x+x+(x-y) = 3x-y 

y^2 = x^2-a^2 

si pone a = 1 e le equaziono diventano :

y = 3x-3

y^2 = 9x^2+9-18x = x^2-1 

8x^2-18x+10 = 0

x = (18+√18^2-32*10)/16 = (18+2)/16 = 5/4 = 5a/4

x non può essere uguale ad 1 perché l'ipotenusa è > del cateto 

y = 3(x-1) = 3a/4

• Altezza AD = a
• Base maggiore AB = x
• Sia CH l'altezza relativa ad AB dal vertice C. Allora CH = AD = a.
• Sia AK la distanza dal vertice A al lato obliquo BC. AK = a.
• Area del triangolo ABC calcolata in due modi:
  • Area(ABC) = (1/2) * AB * CH = (1/2) * x * a
  • Area(ABC) = (1/2) * BC * AK = (1/2) * BC * a
• Uguagliando le aree: (1/2) * x * a = (1/2) * BC * a
• Da cui si ricava: BC = x
• Sia HB la proiezione del lato obliquo BC sulla base maggiore AB.
• Nel triangolo rettangolo CHB, per il teorema di Pitagora: HB^2 + CH^2 = BC^2
• HB^2 + a^2 = x^2
• HB = sqrt(x^2 - a^2)
• Condizione di esistenza: x^2 - a^2 >= 0 => x >= a
• Base minore CD = AB - HB = x - sqrt(x^2 - a^2)

Formulazione dell'equazione del perimetro:

• Perimetro P = AB + BC + CD + AD
• P = x + x + (x - sqrt(x^2 - a^2)) + a
• P = 3x + a - sqrt(x^2 - a^2)
• Il perimetro dato è 4a.
•  Soluzione algebrica per x:
  • Isoliamo la radice quadrata: 3x - 3a = sqrt(x^2 - a^2)
  • Condizione per elevare al quadrato: 3x - 3a >= 0 => x >= a (coerente con la condizione precedente)
  • Eleviamo al quadrato entrambi i lati: (3x - 3a)^2 = (sqrt(x^2 - a^2))^2
  • 9x^2 - 18ax + 9a^2 = x^2 - a^2
  • Riorganizziamo in forma quadratica: 9x^2 - x^2 - 18ax + 9a^2 + a^2 = 0
  • 8x^2 - 18ax + 10a^2 = 0
  • Dividiamo per 2: 4x^2 - 9ax + 5a^2 = 0
  • Applichiamo la formula quadratica x = / (2A):
    • A = 4, B = -9a, C = 5a^2
  • x = [ -(-9a) +/- sqrt((-9a)^2 - 4 * 4 * 5a^2) ] / (2 * 4)
  • x = [ 9a +/- sqrt(81a^2 - 80a^2) ] / 8
  • x = [ 9a +/- sqrt(a^2) ] / 8
  • x = [ 9a +/- a ] / 8

  Determinazione delle soluzioni per x:

  • Soluzione 1: x1 = (9a + a) / 8 = 10a / 8 = 5/4 a
  • Soluzione 2: x2 = (9a - a) / 8 = 8a / 8 = a
  • • sqrt è la radice quadrata anche a me viene con formule pero viene solo cosi
    •  

Dati e definizioni:

• Altezza AD = a

• Base maggiore AB = x

• ALtezza relativa ad AB dal vertice C: CH = a

• Distanza da A al lato obliquo BC: AK = a

• Area triangolo:
  Area=12xa\displaystyle \text{Area} = \frac{1}{2} x aArea=21​xa

• Poiché BC = x (uguale a AB):
  Area=12BC×AK=12xa\displaystyle \text{Area} = \frac{1}{2} BC \times AK = \frac{1}{2} x aArea=21​BC×AK=21​xa

• Proiezione di BC su AB: HB
  HB=x2−a2\displaystyle HB = \sqrt{x^2 - a^2}HB=x2−a2​

• Base minore CD = x−HB=x−x2−a2x - HB = x - \sqrt{x^2 - a^2}x−HB=x−x2−a2​

Perimetro:

P=AB+BC+CD+AD=x+x+(x−x2−a2)+a=3x+a−x2−a2P = AB + BC + CD + AD = x + x + (x - \sqrt{x^2 - a^2}) + a = 3x + a - \sqrt{x^2 - a^2}P=AB+BC+CD+AD=x+x+(x−x2−a2​)+a=3x+a−x2−a2​

Dato che $P=4a$:

3x+a−x2−a2=4a3x + a - \sqrt{x^2 - a^2} = 4a3x+a−x2−a2​=4a
3x−3a=x2−a23x - 3a = \sqrt{x^2 - a^2}3x−3a=x2−a2​

Algebricamente:

(3x−3a)2=x2−a2(3x - 3a)^2 = x^2 - a^2(3x−3a)2=x2−a2
9x2−18ax+9a2=x2−a29x^2 - 18ax + 9a^2 = x^2 - a^29x2−18ax+9a2=x2−a2

Riorganizzando:

8x2−18ax+10a2=08x^2 - 18ax + 10a^2 = 08x2−18ax+10a2=0

Dividi per 2:

4x2−9ax+5a2=04x^2 - 9ax + 5a^2 = 04x2−9ax+5a2=0

Risolvendo con la formula quadratica:

x=9a±(9a)2−4×4×5a22×4x = \frac{9a \pm \sqrt{(9a)^2 - 4 \times 4 \times 5a^2}}{2 \times 4}x=2×49a±(9a)2−4×4×5a2​​

x=9a±81a2−80a28=9a±a28x = \frac{9a \pm \sqrt{81a^2 - 80a^2}}{8} = \frac{9a \pm \sqrt{a^2}}{8}x=89a±81a2−80a2​​=89a±a2​​

x=9a±a8x = \frac{9a \pm a}{8}x=89a±a​

Soluzioni:

• x1=10a8=54ax_1 = \frac{10a}{8} = \frac{5}{4}ax1​=810a​=45​a
• x2=8a8=ax_2 = \frac{8a}{8} = ax2​=88a​=a

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