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[Risolto] problema con esponenziali

  

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Si stima che in un orto botanico siano presenti 8000 esemplari di farfalle e 5000 di falene, quando un parassita inizia a infettare le due specie di insetti. Il parassita infetta la metà delle falene presenti ogni 3 mesi e la metà delle farfalle ogni 6 mesi. Determina l'espressione analitica della funzione $f$ che esprime il numero complessivo di insetti non ancora colpiti dal parassita dopo un tempo $t$ (in mesi) dall'inizio dell'infezione (avvenuta in $t=0$ ), supponendo che il contagio avvenga secondo un modello esponenziale. $$ \left[f(t)=8000\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{3}}+5000\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{6}}\right] $$

WhatsApp Image 2022 10 19 at 16.09.10

Buongiorno, ho provato a svolgere questo esercizio ma non mi trovo con il risultato.

Io avrei messo 5000(1/2) ma elevato a 1/3 poichè il testo dice che il parassita infetta metà delle falene (5000) ogni 3 mesi e 8000(1/2) elevato a 1/6.

Il risultato riporta il contrario. Volevo capire perchè.

Grazie.

 

 

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2 Risposte
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AVEVO SCRITTO «Credo che non ti trovi con il risultato per aver trascurato il preliminare indispensabile allo svolgimento dell'esercizio: estrarre dalle chiacchiere il modello matematico del problema nella forma più semplice possibile. Immagino anche che ti sia fatto confondere dalla forma in cui è presentato il risultato atteso.»
Vedo, dopo lo svolgimento, che tu sei innocente: IL RISULTATO ATTESO E' ERRATO!
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A) ESTRAZIONE
1) "non ancora colpiti" & "modello esponenziale" ≡ decadimento n(t) = N*B^(- t/T)
2) "infetta la metà" ≡ base due ≡ n(t) = N*2^(- t/T)
---------------
B) PARTICOLARIZZAZIONE
* falene: (N = 5000) & (T = 3) ≡ n(t) = 5000*2^(- t/3)
* farfalle: (N = 8000) & (T = 6) ≡ n(t) = 8000*2^(- t/6)
---------------
C) VERIFICHE
Le eguaglianze di verifica
* falene: 5000*(1/2)^(t/6) = 5000*2^(- t/3)
* farfalle: 8000*(1/2)^(t/3) = 8000*2^(- t/6)
sono equazioni con l'unica radice nell'origine, non sono identità.
Nel risultato atteso (ERRATO!) il compositore ha scambiato i valori iniziali e l'errore è sfuggito sia al proto in fase di collazione che all'autore nella revisione delle bozze.




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@futuro-ingegnere-forse 

f(t) = 8000 ( 1 - 1/2 )^(t/3) + 5000 (1 - 1/2)^(t/6) =

= 8000 * (1/2)^(t/3) + 5000 * (1/2)^(t/6)

 

SPIEGAZIONI spicciole

 

1 - 1/2 é la frazione rimasta 

 

(1/2)^(t/T)  vale 1/2 per t = T 

Risposta



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