Problema con equazioni irrazionali

Fai riferimento alla figura allegata. Equazioni delle due circonferenze:

γ1 : (x - 1)^2 + y^2 = 1 ;  γ2 : (x - 4)^2 + y^2 = 4

Metto a sistema la retta generica per l'origine ha equazione con la seconda equazione:

{(x - 4)^2 + y^2 - 4 = 0

{y = m·x

che risolvo per sostituzione:

(x - 4)^2 + (m·x)^2 - 4 = 0----> x^2·(m^2 + 1) - 8·x + 12 = 0

ci sono intersezioni se risulta:

Δ/4 > 0----> (-4)^2 - 12·(m^2 + 1) > 0---> 4 - 12·m^2 > 0

- √3/3 < m < √3/3

nel nostro caso assumiamo: 0 < m < √3/3

Il sistema di sopra in tali condizioni permette di determinare i punti E ed F. (vedi sotto)

Determino le coordinate di D;

{(x - 1)^2 + y^2 = 1

{y = m·x

risolvo per sostituzione:

(x - 1)^2 + (m·x)^2 - 1 = 0

x^2·(m^2 + 1) - 2·x = 0

x = 2/(m^2 + 1) ∨ x = 0----> y = 2·m/(m^2 + 1)

 D [2/(m^2 + 1), 2·m/(m^2 + 1)]

Determino le coordinate dei punti E ed F:

x^2·(m^2 + 1) - 8·x + 12 = 0

x = (4 - 2·√(1 - 3·m^2))/(m^2 + 1) ∨ x = (2·√(1 - 3·m^2) + 4)/(m^2 + 1)

In grassetto l'ascissa che ci interessa del punto E. Quindi:

E [(4 - 2·√(1 - 3·m^2))/(m^2 + 1), (4·m - 2·m·√(1 - 3·m^2))/(m^2 + 1)]

DE = 1

1 = √(((4 - 2·√(1 - 3·m^2))/(m^2 + 1) - 2/(m^2 + 1))^2 +

+((4·m - 2·m·√(1 - 3·m^2))/(m^2 + 1) - 2·m/(m^2 + 1))^2)

1 = √(4·(√(1 - 3·m^2) - 1)^2/(m^2 + 1)^2 +

+4·m^2·(√(1 - 3·m^2) - 1)^2/(m^2 + 1)^2)

1 = 2·√((√(1 - 3·m^2) - 1)^2)/√(m^2 + 1)

Quindi:

m = √(16·√10 - 5)/13

retta intersecante cercata:

√(16·√10 - 5)/13·x - y = 0

d = ABS(1·√(16·√10 - 5)/13 - 0)/√((√(16·√10 - 5)/13)^2 + (-1)^2)

d = √(4·√10 - 5)/6----> d = 0.46 cm circa