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[Risolto] Problema con equazioni di 2 grado

  

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Intorno a due muri di una casa si vuole costruire un recinto come quello indicato in figura (i due lati minori del recinto sono congruenti, così come i due lati maggiori), utilizzando $60 \mathrm{~m}$ di rete. Indicata con $x$ la lunghezza, in metri, dei due lati maggiori del recinto, stabilisci per quali valori di $x$ :

a. è possibile costruire il recinto;

b. si ottiene il recinto di area massima.

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RISPOSTE QUALITATIVE
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A) "per quali valori di x è possibile costruire il recinto"
Per quei valori in corrispondenza ai quali il recinto costruito recingerebbe una superficie di area positiva.
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B) "per quali valori di x si ottiene il recinto di area massima"
Per la o le ascisse di massimo assoluto scelte dell'insieme dei valori di frontiera individuati al punto a e le ascisse estremanti, se ne esiste almeno una, il cui estremo sia un massimo relativo.
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Determinazione dei valori descritti in A e B.
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Con
* unità di misura: lunghezza, m; superficie, m^2.
* L = 60 = lunghezza della rete disponibile
* x = lunghezza dei due lati lunghi
* c = lunghezza dei due lati corti
* m = lunghezza dei due tratti mancanti
si scrivono le relazioni
* c = x - m
* 2*x + 2*c = 2*x + 2*(x - m) = L ≡ m = 2*x - L/2
e si ha l'area
* A = p(x) = x^2 - m^2 = x^2 - (2*x - L/2)^2 =
= - 3*(x - L/3)^2 + L^2/12 =
= - 3*(x - L/6)*(x - L/2)
---------------
Il grafico di
* y = p(x)
è una parabola con:
* concavità verso y < 0 (apertura a = - 3 < 0);
* vertice V(L/3, L^2/12) (area massima = p(L/3) = L^2/12)
* zeri per (x = L/6) oppure (x = L/2)
==============================
RISPOSTE QUANTITATIVE
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A) "per quali valori di x è possibile costruire il recinto"
* L/6 < x < L/2 ≡
≡ (10 < x < 30) m
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B) "per quali valori di x si ottiene il recinto di area massima"
* p(L/3) = L^2/12 ≡
≡ p(20) = 300 m^2



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range di x : 15 < x < 30

per x = 30 mi suona difficile poterlo chiamare recinto (area = 0)

 

max superficie A :  x = 15 ed y → 0 (A → 225 m^2, ovvero l'area di un quadrato che è il quadrilatero che, a pare perimetro, racchiude l'area maggiore )

image

 



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