[Risolto] PROBLEMA CON EQUAZIONI

In un triangolo rettangolo un cateto è 5/12 dell’altro e il perimetro è 300cm. Trova le lunghezze dei lati del triangolo.

[50cm; 120cm; 130cm]

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Poni i cateti come segue:

cateto minore $c= 5x$;

cateto maggiore $C= 12x$;

equazione utilizzando il teorema di Pitagora per calcolare l'ipotenusa in proporzione:

$5x+12x+\sqrt{(5x)^2+(12x)^2} = 300$

$17x +\sqrt{25x^2+144x^2} = 300$

$17x +\sqrt{169x^2} = 300$

$ 17x+13x = 300$

$ 30x = 300$

$x= \frac{300}{30}$

$x= 10$

per cui risulta:

cateto minore $c= 5x = 5·10 = 50~cm$;

cateto maggiore $C= 12x = 12·10 = 120~cm$;

ipotenusa $ip= 13x = 13·10 = 130~cm$.

Considerato un triangolo rettangolo di ipotenusa $AB$ di cateto maggiore $AC$ e di cateto minore $CB$, si deduce che:

$AB=√x^2+25/144x^2$

$AB=√169/144x^2$

$AB=13/12x$

riassumendo i dati forniti:

$13/12x+5/12x+x=300$

$(13+5+12)/12=300$

$30/12x=300$

$x=300*12/30$

$x=120$ cateto maggiore

$BC=5/12*120$

$BC=50$ cateto minore 

$AB=13/12*120$

$AB=130$ ipotenusa 

c/k = 5

C/k = 12

i /k= 1/k√5^2+12^2 = 13/k

5k+12k+13k = 30k = 300

k = 300/30 = 10 

c = 5*10 = 50 cm

C= 12*10 = 120 cm

i = 13*10 = 130 cm 

I lati del triangolo ABC, rettangolo in C, sono
* |BC| = a > 0: cateto minore
* |AC| = b >= a: altro cateto
* |AB| = c = √(a^2 + b^2) > b: ipotenusa
da cui
* p = a + b + c = a + b + √(a^2 + b^2): perimetro
* S = a*b/2 = c*h/2: area
* h = a*b/c = a*b/√(a^2 + b^2): altezza sull'ipotenusa
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Se
* (a = 5*b/12) & (p = 300)
si ha
* p = a + b + √(a^2 + b^2) =
= 5*b/12 + b + √((5*b/12)^2 + b^2) =
= 5*b/2 = 300 ≡
≡ b = 120
da cui
* a = 5*b/12 = 50
* c = √(50^2 + 120^2) = 130
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ALTERNATIVAMENTE
La specificazione "un cateto è 5/12 dell'altro" indica la seconda terna pitagorica più piccola: (5, 12, 13); quindi i lati devono essere (a, b, c) = k*(5, 12, 13) con perimetro
* p = 30*k = 300 ≡ k = 10 → (a, b, c) = (50, 120, 130)
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CONCLUSIONE
Riconoscere configurazioni è più economico che risolvere equazioni.

Metodo della falsa posizione.

Se i cateti misurassero 5 cm e 12 cm l'ipotenusa varrebbe

c = sqrt (5^2 + 12^2) cm = sqrt (25 + 144) cm = sqrt(169) cm = 13 cm

e sarebbe P = (5 + 12 + 13) cm = 30 cm

Essendo invece P = 300 cm ogni misura va considerata k volte

essendo k = 300/30 = 10

allora a = 50 cm, b = 120 cm, c = 130 cm