In una regione cilindrica di raggio $R$ è presente un campo elettrico variabile verticale il cui modulo che varia secondo la legge $$ |\vec{E}(t)|=a t^3+b t $$ a) Si determinino le unità di misura di $a$ e $b$ e si spieghi perché si genera un campo magnetico in tale regione anche in assenza di magneti e correnti. Si specifichi la relazione che sussiste tra le direzioni dei due campi. b) Si determini il modulo del campo magnetico $\vec{B}(r, t)$ al variare della distanza $r$ dall'asse del cilindro tra 0 e 2R. Si tracci un grafico qualitativo di $\vec{B}(r)$ all'istante $t=1 s$.
Tento una risposta, di cui però non sono del tutto sicura. Mi farebbe piacere avere un parere da parte anche degli altri utenti.
Per la prima parte è abbastanza ovvio che, essendo le unità di misura del campo elettrico $V/m$, le due costanti devono avere come unità di misura:
$[a] = \frac{V}{m s^3}$
$ [b]=\frac{V}{m s}$
Il campo magnetico si genera perché il campo elettrico è variabile nel tempo. Dunque anche in assenza di correnti e magneti ($\rho=0$, $j=0$), l'equazione di Ampere-Maxwell ci dice che:
$ \nabla \times B = \frac{1}{c^2} \frac{\partial E}{\partial t}$
I due campi sono inoltre tra loro perpendicolari. Nel nostro caso il campo elettrico si propaga verticalmente, dunque lungo l'asse z, dunque il campo magnetico giace nel piano x-y.
Ora per calcolare il modulo del campo magnetico, considerando che il campo elettrico è uniforme (varia solo nel tempo, ma il suo modulo è uguale in tutti i punti del cilindro ad un istante fissato), possiamo assumere che anche il campo magnetico indotto abbia perlomeno una simmetria cilindrica.
Con questa assunzione, procediamo usando la legge di Ampere-Maxwell in forma locale.
Considero una superficie S circolare, coassiale con il cilindro e parallela alla base del cilindro, di raggio $r$.
Quindi supponendo che il campo magnetico sia uniforme lungo la circonferenza considerata, e sapendo che il campo elettrico è uniforme sulla superficie S e ad essa perpendicolare, possiamo dire che, per $r\leq R$:
$ 2\pi r \cdot B = \frac{1}{c^2} \frac{d}{dt}(at^3+bt) \pi r^2$
da cui svolgendo la derivata e isolando B:
$ B = \frac{r}{2}\frac{1}{c^2} (3a^2+b)$ per $r\leq R$
Quando invece $r>R$, la superficie attraversata dal campo elettrico è $\pi R^2$ anche per $r>R$ e dunque:
$ 2\pi r \cdot B = \frac{1}{c^2} \frac{d}{dt}(at^3+bt) \pi R^2$
da cui
$ B = \frac{1}{c^2} (3at^2+b) \frac{R^2}{2r}$ per $r>R$
Quindi ricapitolando, per $0<r<R$ il campo magnetico cresce linearmente con il raggio, mentre per $r>R$ è inversamente proporzionale al raggio. Otteniamo insomma un andamento di questo tipo:
