Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
Problema:
Risolvi il seguente problema di Cauchy:
$x'+\frac{2}{t}x=t^4, x(1)=4$
Soluzione:
Dato che l'EDO è del primo ordine, si utilizza la formula del fattore d'integrazione:
Data l'equazione differenziale $y'+a(x)y=b(x)$, si ha che $y=e^{-A(x)} \int e^{A(x)} (b(x))dx$, con $A(x)=\int a(x) dx$.
$x=e^{-2\ln|t|} \int e^{2\ln|t|} (t^4)dt=\frac{1}{t^2}\int t^2(t^4)dt=\frac{1}{t^2}\int t^6dt=\frac{t^7 +c}{7t^2}$
Resta da individuare il valore $c$, per farlo si utilizza il fatto che $x(1)=4$. Si ottiene dunque che $c=27$.
La soluzione al problema di Cauchy è dunque $x=\frac{t^7 +27}{7t^2}$
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Livello 6