Problema con 2 teorema di Euclide

@marty_lofrese

In un triangolo rettangolo il cateto c2 e la sua proiezione sull'ipotenusa p2 misurano, rispettivamente, 12 dm e 9,6 dm. Calcola il perimetro del triangolo.

altezza h = √c2^2-p2^2 = √12^2-9,6^2 = 7,20 dm 

p1 = h^2/p2 = 7,20^2/9,6 = 5,40 dm 

i = p1+p2 = 9,6+5,4 = 15,0 dm 

c1 = 3√5^2-4^2 = 3*3 = 9 

perimetro 2p = 9+12+15 = 36 dm 

In ogni triangolo rettangolo i lati sono
* 0 < a <= b < c = √(a^2 + b^2)
il perimetro, l'area e l'altezza sull'ipotenusa sono
* p = a + b + c = a + b + √(a^2 + b^2)
* S = a*b/2 = c*h/2
* h = a*b/c = a*b/√(a^2 + b^2)
le proiezioni sull'ipotenusa sono
* s = proiezione di a
* t = proiezione di b
Con questi simboli si scrivono i Teoremi
Pitagora: il quadrato dell'ipotenusa è la somma dei quadrati dei cateti ≡
≡ c^2 = a^2 + b^2; b^2 = t^2 + h^2; a^2 = s^2 + h^2.
Euclide I: il cateto è medio proporzionale tra la sua proiezione e l'ipotenusa ≡
≡ a^2 = s*c; b^2 = t*c.
Euclide II: l'altezza è medio proporzionale tra le proiezioni ≡
≡ h^2 = s*t.
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IL TUO PROBLEMA
Dati (a, s) [oppure (b, t)] si chiede p.
Pitagora: a^2 = s^2 + h^2 ≡ h^2 = a^2 - s^2
Euclide II: h^2 = s*t ≡ t = h^2/s = (a^2 - s^2)/s
Pitagora: b^2 = t^2 + h^2 = ((a^2 - s^2)/s)^2 + (a^2 - s^2) =
= (a + s)*(a - s)*(a/s)^2 ≡
≡ b = (a/s)*√((a + s)*(a - s))
* c = s + t = s + (a^2 - s^2)/s = a^2/s
* p = a + b + c = a + (a/s)*√((a + s)*(a - s)) + a^2/s ≡
≡ p(a, s) = (a/s)*(a + s + √((a + s)*(a - s)))
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SOLUZIONE
* a = 12 dm = 120 cm
* s = 9,6 dm = 96 cm
≡ p(120, 96) = (120/96)*(120 + 96 + √((120 + 96)*(120 - 96))) =
= 360 cm = 36 dm

Serve il 1° teorema di Euclide:

ipotenusa $= \frac{12^2}{9,6} = 15~dm$;

proiezione cateto incognito $= 15~-9,6 = 5,4~dm$;

cateto incognito $= \sqrt{15~×5,4} = 9~dm$ (formula inversa);

perimetro $2p= 12~+15~+9 = 36~dm$.