Problema circonferenza

Problema:

Determina l'equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta di equazione $y=x-3$ nel punto di intersezione con l'asse $y$. Tra le infinite circonferenze del fascio trova quella che passa per $P(4,-1)$.

Soluzione:

Per risolvere il quesito è innanzitutto fondamentale trovare il punto di intersezione della retta con l'asse delle ordinate. Esso si trova ponendo $x=0$ nell'equazione della retta: $Q(0,-3)$.

Prima di individuare il fascio è opportuno aver ben chiara la situazione, intuitivamente è possibile immaginare la retta $y=x-3$ che si chiude a circonferenza, ciò implica che ogni circonferenza creata in tal modo è tangente alla retta per costruzione. È necessario dunque selezionare la circonferenza degenere, la retta, e quella di raggio nullo centrata nel punto desiderato.

$\Phi_π: (x-0)²+(y+3)²+k(y-x+3)=0$

$\Phi_π: x²+y²+6y+9+ky-kx+3k=0$

$\Phi_π: x²+y²-kx+(6+k)y+3k+9=0$

Per individuare la circonferenza che passa per $P$ è necessario porre la condizione di appartenenza $P \in \Phi_π$ per individuare $k$.

$\Phi_π(P): (4)²+(-1)²-k(4)+(6+k)(-1)+3k+9=0$

$\Phi_π(P): 20-2k=0 \to k=10$

Sostituendo $k$ nel fascio si ha:

$π: x²+y²-(10)x+(6+(10))y+3(10)+9=0$

$π: x²+y²-10x+16y+39=0$