[Risolto] Problema algebrico n. 447

b·(1 - b) = x^2·(x^2 - 2·b + 1)

x^4 + x^2·(1 - 2·b) - b·(1 - b) = 0

x^2 = t

t^2 + t·(1 - 2·b) - b·(1 - b) = 0

risolvo: t = b - 1 ∨ t = b

Quindi:

x^2 = b - 1 ∨ x^2 = b

Quindi

i 4 soluzioni reali per:

x = - √(b - 1) ∨ x = √(b - 1)

x = - √b ∨ x = √b

Si devono quindi verificare:

{b ≥ 0

{b - 1 ≥ 0

che fornisce: [b ≥ 1]

In particolare per b=1

si ha:

x = - √(1 - 1) ∨ x = √(1 - 1)----> x = 0 ∨ x = 0

Quindi 2 soluzioni reali e coincidenti con x=0.

 

Ciao @Beppe 

Posto:

x²=t

L'equazione risulta 

t²+(1-2b)*t+(b²-b)=0

Vogliamo due soluzioni reali (D=1>0 sempre) positive. Regola di Cartesio. Due variazioni del segno 

{(1-2b)<0 => b>1/2

{b²-b>0 => b<0  v  b>1

Quindi: b>=1 

Per b=1 ho la soluzione doppia x=0; x=±1

Risposta B) 

Concordi con la risposta? 

Buona serata 

Stefano 

 

Un'equazione razionale di grado quattro a coefficienti reali ha quattro radici reali se e solo se:
* il polinomio a primo membro della sua forma canonica si scompone in due polinomi di grado due;
* ciascuno dei due polinomi di grado due ottenuti ha discriminante non negativo.
Invece ha quattro radici reali distinte se e solo se:
* ciascuno dei due polinomi di grado due ha discriminante positivo;
* fra le due radici di uno e le due dell'altro non ci sono valori comuni.
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NEL CASO IN ESAME
Con
* u = x^2
si ha
* b*(1 - b) = (x^2 - 2*b + 1)*x^2 ≡
≡ x^4 - (2b - 1)*x^2 + b*(b - 1) = 0 ≡
≡ u^2 - (2b - 1)*u + b*(b - 1) = 0 ≡
≡ (u - (b - 1))*(u - b) = 0 ≡
≡ (u = b - 1) oppure (u = b) ≡
≡ (x^2 = b - 1) oppure (x^2 = b) ≡
≡ (x = ± √(b - 1)) oppure (x^2 = ± √b) ≡
≡ x ∈ {- √(b - 1), - √b, √b, √(b - 1)}
che sono valori reali per
* (b - 1 >= 0) & (b >= 0) ≡ b >= 1
e sono reali e distinti per
* (b - 1 > 0) & (b > 0) ≡ b > 1