Problema

Dato che OP è raggio, sappiamo che $OP=12 cm$.

Calcoliamo il coseno dell'angolo noto:

$cos(SOP) = \sqrt{1-sin^2(SOP)} = \sqrt{1-(3/5)^2} = 4/5$

Essendo P punto di tangenza, il raggio OP è perpendicolare alla tangente. Quindi possiamo dire che:

$ SO = OP/cos(SOP)= \frac{12}{4/5}= 15 cm$

E quindi:

$SP = \sqrt{SO^2-OP^2} = 9 cm$

Nota che il segmento OT è bisettrice dell'angolo POB perché PT e TB sono segmenti di tangente.

Sappiamo che:

$ POB = \frac{\pi}{2}-SOP$

e dunque per le proprietà degli angoli associati:

$ cos(POB) = cos(\frac{\pi}{2}-SOP) = sin(SOP) = 3/5$

Usando le formule di bisezione:

$ cos(POT) = cos(POB/2) = \sqrt{\frac{1+cos(POB)}{2}} = \sqrt{4/5} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

E dunque ragionando sul triangolo rettangolo POT abbiamo che:

$OT = PO/cos(POT) = \frac{12}{\frac{2}{\sqrt{5}}} = 6\sqrt{5}$

E per Pitagora:

$PT = \sqrt{OT^2-PO^2} = 6$

Allora 

$ST = SP+PT = 9+6 = 15$

E sfruttando il fatto che i segmenti di tangente sono congruenti:

$ PT = TB = 6$

Inoltre abbiamo che $OB=12$

Abbiamo tutto per trovare perimetro e area:

$ p = OB+BT+TS+SO = 12+6+15+15= 48 cm$

$ A = (SO+BT)*BO/2 = (15+6)*12/2 = 126 cm^2$

Noemi