[Risolto] PROBLEMA

Il nostro obiettivo è arrivare a scrivere la relazione $OP^2 + \frac{25}{3} PH^2 = 46r^2$ in funzione di PC.

Nota prima di tutto che l'angolo OCD non dipende dalla scelta di P e lo possiamo calcolare come:

$ sin \alpha = sin(OCD) = \frac{OD}{OC} = \frac{3r}{5r} = \frac{3}{5}$

dove $OD=3r$ perché raggio (il diametro è 6r) e $OC = OB+BC = 3r+2r=5r$

Per comodità troviamo anche:

$ cos\alpha = \sqrt{1-sin^2 \alpha} = \sqrt{1-(3/5)^2} = \frac{4}{5}$

Chiamiamo $PC = x$

Considerando il triangolo rettangolo PHC, troviamo subito che:

$ PH = PC sin \alpha = \frac{3}{5}x$

$ CH = PC cos \alpha = \frac{4}{5}x$

Quindi troviamo OH come:

$ OH = OC - CH = 5r - \frac{4}{5} x$

E dunque considerando il triangolo rettangolo OPH, per Pitagora:

$ OP^2 = OH^2 + HP^2 = (5r - \frac{4}{5} x)^2 + (\frac{3}{5} x)^2 = 25r^2 + \frac{16}{25}x^2 -8rx + \frac{9}{25} x^2 = 25r^2 +x^2 -8rx$

Abbiamo tutto per riscrivere la relazione iniziale in funzione di PC:   

$OP^2 + \frac{25}{3} PH^2 = 46r^2$

$ 25r^2 +x^2 -8rx + \frac{25}{3}(\frac{3}{5} x)^2 = 46r^2$

$ 25r^2 +x^2 -8rx + 3x^2 = 46r^2$

$ 4x^2 -8rx -21 r^2 = 0$

$ x = \frac{8r \pm \sqrt{64r^2 +336r^2}}{8} = \frac{8r \pm 20r}{8}$

Ovviamente escludiamo la soluzione negativa, dato che si tratta della lunghezza di un segmento e otteniamo:

$ x = PC = \frac{28 r}{8} = \frac{7}{2} r$

 

Noemi