Notifiche
Cancella tutti

[Risolto] Problema

  

0

Qualcuno potrebbe aiutarmi con questo problema?

Dato un piano cartesiano, scrivere l'equazione della circonferenza di centro C (1,1) e raggio r=1. Dopo aver verificato che il punto P (-1,0) non appartiene alla circonferenza, scrivere l'equazione delle rette tangenti alla circonferenza passanti per P. Trovare e disegnare la retta passante per Q (3,4) e parallela a una delle tangenti trovate in precedenza.

Autore
3 Risposte



3

Per la determinazione della circonferenza:

$ \\(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\rightarrow \\(x-1)^2+(y-1)^2=1^2\rightarrow \\
x^2+1-2x+y^2+1-2y-1=0\rightarrow \\\\
\underline{\overline{||x^2+y^2-2x-2y+1=0||}} $

Per il controllo del passaggio per il punto P:

$ \\x^2+y^2-2x-2y+1=0\overset{x=-1,y=0}{\rightarrow }\\(-1)^2+0^2-2(-1)-2(0)+1\overset{?}{=}0\rightarrow \\1+2+1\overset{?}{=}0\rightarrow\\\\ \overline{\underline{||4\overset{?}{=}0\Leftrightarrow \textrm{NO}||}} $

Per le rette passanti per P tangenti alla circonferenza:

$ \\d_{\textrm{Centro-Retta}}=r=1\hspace{1cm} C(1,1)\\
\gamma:y=m(x+1)\Leftrightarrow mx-y+m=0\\\\
d_{\textrm{Centro-Retta}}=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|m-1+m|}{\sqrt{m^2+1}}=1\rightarrow \\\\
\frac{|2m-1|}{\sqrt{m^2+1}}=1\rightarrow |2m-1|=\sqrt{m^2+1}\rightarrow\\\\
4m^2+1-4m=m^2+1\rightarrow 3m^2-4m=0\rightarrow m(3m-4)=0\\\\
\rightarrow \left\{\begin{matrix}
m_0=0\\
m_1=\frac{4}{3}
\end{matrix}\right.\\\\
\rightarrow \left\{\begin{matrix}
y_0=0\\
y_1=\frac{4}{3}(x+1)
\end{matrix}\right. $

Per l'ultimo punto:

Visto che il fascio di rette passante per il punto P ha forma $ y-4=m(x-3)\rightarrow y=m(x-3)+4 $ avremo che le due rette parallele alle due rette tangenti trovate prima hanno gli stessi coefficienti angolari di quelle che ci siamo ricavate prima, quindi basta sostituire di nuovo i due coefficienti m trovati prima in questo fascio e abbiamo le due rette.



2

@enrico200

Vediamo il metodo alternativo agli altri due proposti. Dai dati equazione cartesiana della circonferenza:

(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1------>x^2 + y^2 - 2·x - 2·y + 1 = 0 equazione implicita della circonferenza

Verifica del punto esterno P(-1,0):

(-1 - 1)^2 + (0 - 1)^2 = 1------>5 = 1 OK  Essendo 5>1 P è esterno

Mettiamo a sistema il fascio di rette per P con la circonferenza:

{x^2 + y^2 - 2·x - 2·y + 1 = 0

{y = m·(x + 1)

Procedo con il metodo della sostituzione:

x^2 + (m·(x + 1))^2 - 2·x - 2·(m·(x + 1)) + 1 = 0

x^2·(m^2 + 1) + x·(2·m^2 - 2·m - 2) + (m^2 - 2·m + 1) = 0

x^2·(m^2 + 1) + 2·x·(m^2 - m - 1) + (m^2 - 2·m + 1) = 0

Applico la condizione di tangenza:

Δ/4 = 0

(m^2 - m - 1)^2 - (m^2 + 1)·(m^2 - 2·m + 1) = 0

Sviluppo ed ottengo:

4·m - 3·m^2 = 0-------> m·(4 - 3·m) = 0

Quindi soluzioni: m = 4/3 ∨ m = 0

per cui le rette tangenti:

y = 4/3·(x + 1)------->y = 4·x/3 + 4/3

y = 0·(x + 1)------->y = 0   (asse delle x)

A questo punto le rette parallele per Q(3,4) alle tangenti sono:

y= 4 parallela asse delle x

L'altra è:

y - 4 = 4/3·(x - 3)--------->(condizioni di parallelismo)--->y = 4·x/3 passante per l'origine

 

image

 

 



0

PIU' CHE UN PROBLEMA DIREI CHE SONO QUATTRO ESERCIZI DI VERIFICA, ma scritti così male da indurre negli alunni la sottile convinzione che sia lecito parlare di matematica con lo stesso linguaggio raffazzonato che si usa al Bar dello Sport.
==============================
A) VERIFICA #1: «Dato un piano cartesiano, scrivere l'equazione della circonferenza di centro C(1, 1) e raggio r = 1.»
vorrebbe dire
«Rammenti la forma normale standard dell'equazione di una circonferenza? Se sì, applicala al caso "C(1,1), r = 1"; se no, vai a ripassare!»
==============================
B) VERIFICA #2: «Dopo aver verificato che il punto P(- 1, 0) non appartiene alla circonferenza, scrivere l'equazione delle rette tangenti alla circonferenza passanti per P.»
questa frase non si sa che vorrebbe dire perché propone due calcoli scorrelati, con una vena di follia. Se il punto P è interno al cerchio la verifica va a buon fine, ma col cavolo che ci sono tangenti per P!
Qui non è solo scorretto l'italiano, pure la matematica è incerta.
==============================
C) VERIFICHE #3 e #4: «Trovare e disegnare la retta passante per Q(3, 4) e parallela a una delle tangenti trovate in precedenza.»
anche qui la matematica è incerta perché di rette che soddisfacciano alla specificazione ce ne sono due e l'uso dell'articolo determinativo dicendo "la retta" risulta anche qui con una vena di follia.
Però almeno si comprende cosa avrebbe voluto dire
C#3) «Rammenti come scrivere la retta per Q(3, 4) e parallela ad una retta data? Se sì, applicala alle tangenti sub B; se no, vai a ripassare!»
e
C#4) «Rammenti come disegnare la retta rappresentata da un'equazione data? Se sì, applicala ad entrambe le equazioni sub C#3; se no, vai a ripassare!»
==============================
FINE DELLE CRITICHE LINGUISTICO-MATEMATICHE
------------------------------
A) RIPASSO
Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza trovando i tre parametri (a, b, q).
---------------
APPLICAZIONE
* Γ ≡ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1
------------------------------
B) PROBLEMA DELLE TANGENTI, RETTA POLARE, SDOPPIAMENTI
La retta polare p(Γ, P) del punto P(u, v), il polo, rispetto alla cònica Γ si ottiene dall'equazione di Γ in forma normale canonica, f(x, y) = 0, lasciàndone inalterati i coefficienti e operando le sostituzioni (formule di sdoppiamento):
* x^2 → u*x
* y^2 → v*y
* x*y → (v*x + u*y)/2
* x → (u + x)/2
* y → (v + y)/2
Se il punto P è interno alla cònica Γ, p(Γ, P) non interessa il problema delle tangenti.
Se il punto P è sulla cònica Γ, p(Γ, P) è la tangente in P.
Se il punto P è esterno alla cònica Γ, p(Γ, P) interseca Γ nei punti di tangenza delle tangenti condotte da P.
PERTANTO LA VERIFICA RICHIESTA AVVIENE A POSTERIORI, altro che "Dopo aver verificato ..."; se c'è una sola intersezione P è su Γ, se no "non appartiene": ma in due modi ben differenti!
---------------
APPLICAZIONE a Γ e P(- 1, 0)
* Γ ≡ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1 ≡
≡ x^2 + y^2 - 2*x - 2*y + 1 = 0
* p ≡ - 1*x + 0*y - 2*(- 1 + x)/2 - 2*(0 + y)/2 + 1 = 0 ≡
≡ y = 2 - 2*x
* p & Γ ≡ (y = 2 - 2*x) & ((x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1) ≡
≡ T1(1/5, 8/5) oppure T2(1, 0)
Con due punti di tangenza si conclude che il punto P è esterno alla cònica Γ.
------------------------------
E MO BASTA! Ti lascio il piacere del completamento.

 



Risposta




SOS Matematica

4.6
SCARICA