Buondì a tutti 🖐️
Devo calcolare la lunghezza di questa curva parametrizzata $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}, f(t)=(t,2t^2,t-1)$
Ho proceduto calcolando prima $f'(t)= (1,4t,1)$
e poi $|f'(t)|=sqrt{2+16t^2},
quindi $L(C)=\int{a}^{b}{|f'(t)|dt}=\int{0}^{1}{sqrt{2+16t^2}dt}=\int{0}^{1}{sqrt{2(1+8t^2}dt}$
Ho pensato alla sostituzione iperbolica ponendo $8t=sinh(z)$, $8dt=cosh(z)$ $dt=\frac{cosh(z)}{8}dz$
per gli estremi invece ho fatto $8*(0)=1*sinh(z)$ dove $z=arcsinh(0)=0$ e $8*(1)=1*sinh(z)$ dove $z=arcsinh(8)$
quindi avrò $\int{arcsinh(0)}^{arcsinh(8)}{\sqrt{2}\sqrt{1+sinh^2(z)}\frac{cosh(z)}{8}*dz}$
$=\frac{\sqrt{2}}{8}\int{arcsinh(0)}^{arcsinh(8)}{\sqrt{cosh^2(z)}cosh(z)*dz}$
$=\frac{\sqrt{2}}{8}\int{arcsinh(0)}^{arcsinh(8)}{cosh(z)*cosh(z)*dz}$
$=\frac{\sqrt{2}}{8}\int{arcsinh(0)}^{arcsinh(8)}{cosh^2(z)*dz}$
e poi...un aiutino?? Grazie mille 🙂