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[Risolto] Lunghezza di una curva

  

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Buondì a tutti 🖐️ 

Devo calcolare la lunghezza di questa curva parametrizzata $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}, f(t)=(t,2t^2,t-1)$

Ho proceduto calcolando prima $f'(t)= (1,4t,1)$

e poi $|f'(t)|=sqrt{2+16t^2},

quindi $L(C)=\int{a}^{b}{|f'(t)|dt}=\int{0}^{1}{sqrt{2+16t^2}dt}=\int{0}^{1}{sqrt{2(1+8t^2}dt}$

Ho pensato alla sostituzione iperbolica ponendo $8t=sinh(z)$, $8dt=cosh(z)$ $dt=\frac{cosh(z)}{8}dz$

per gli estremi invece ho fatto $8*(0)=1*sinh(z)$ dove $z=arcsinh(0)=0$ e $8*(1)=1*sinh(z)$ dove $z=arcsinh(8)$

quindi avrò $\int{arcsinh(0)}^{arcsinh(8)}{\sqrt{2}\sqrt{1+sinh^2(z)}\frac{cosh(z)}{8}*dz}$

$=\frac{\sqrt{2}}{8}\int{arcsinh(0)}^{arcsinh(8)}{\sqrt{cosh^2(z)}cosh(z)*dz}$

$=\frac{\sqrt{2}}{8}\int{arcsinh(0)}^{arcsinh(8)}{cosh(z)*cosh(z)*dz}$

$=\frac{\sqrt{2}}{8}\int{arcsinh(0)}^{arcsinh(8)}{cosh^2(z)*dz}$

e poi...un aiutino?? Grazie mille 🙂 

 

Autore

chiedo scusa, ma non so perchè gli estremi vengono visualizzati così, eppure in latex l'ho scritto correttamente, nelle radici quadrate iniziali ho scordato \ all'inizio, chiedo scusa. sarebbe così la formula: $L(C) = \int{0}^{1}{\sqrt{2+16t^2}dt}$ $=\int{0}^{1}{\sqrt{2(1+8t^2)}dt}$ $=\int{0}^{1}{\sqrt{2}\sqrt{1+8t^2}dt}$

 

Potresti abbandonare LaTeχ? Vedere quegli obbrobrii è irritante e distrae. Inoltre il visualizzatore del mio browser si mangia i sottoriga: vedo l'integrale come effe, la y come u, la g come o, ...

Postato da: @exprof

Potresti abbandonare LaTeχ? Vedere quegli obbrobrii è irritante e distrae. Inoltre il visualizzatore del mio browser si mangia i sottoriga: vedo l'integrale come effe, la y come u, la g come o, ...

😆ci proverò! Devo abituarmi a visualizzare le formule senza scrittura in LaTeX 😩  solo che non so come fare 🤣 

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3 Risposte
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Come hai anche scritto più avanti, però per sicurezza lo ripeto, non mi trovo con la formula $L(\varphi )$ che hai scritto nella traccia, specie il valore $a^b$ ma sono sicuro si tratti di una svista in LaTeX.

Per la valutazione dell'integrale, mi sono affidato a WolframAlpha non ricordando particolarmente "la tecnica" di integrazione, ma puoi fare riferimento in rete ai vari metodi applicativi utili in questi casi: fai riferimento alla casistica $\int {\sqrt{a^2+x^2}dx} $

test (5)

Grazie mille!! ripeto: tentavo con la sostituzione iperbolica su suggerimento del prof, era un esempio di curva fatta a lezione, e siccome non si era preparato l'integrale c'è l'ha lasciato per esercizio indicandoci appunto tale sostituzione per risolverlo

Postato da: @marco_luca

specie il valore $a^{b}$

quel valore doveva essere visualizzato come i due estremi di integrazione, a l'estremo inferiore e b come estremo superiore

controllo se esce: $\int_{a}^{b}{xdx}$

ho scritto: dollaro + \int_{a}^{b}{xdx} + dollaro.




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Io penso che quando arrivi a L = S_[0,1] sqrt (16t^2 + 2) dt

 

ti convenga mettere in evidenza 16 e portarlo fuori radice

L = 4 S_[0,1] sqrt (t^2 + a^2) dt con a = 1/(2 sqrt(2))

 

e quindi 4 * [ 1/2 t sqrt (t^2 + a^2) + a^2/2 ln ( t + sqrt (t^2 + a^2) ) ]_[0,1] =

 

= ... lascio il calcolo a te ... = 3/2 sqrt(2) + 1/4 ln (3 + 2 sqrt(2)) ~ 2.562

 

 

grazie ci provo, avevo tentato quella strada su suggerimento del prof.

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La rettificazione dell'arco di curva descritto dà l'estensione
* L(C) = ∫ [t = 0, 1] (4*√(t^2 + 1/8))*dt
che è un integrale tabulato e corrisponde alla sesta riga di
http://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_degli_integrali_indefiniti_di_funzioni_irrazionali

Grazie dell'aiuto @eidosm, @marco_luca ed @exprof. per evitare il LaTeX vi allego l'immagine della risoluzione 🤣

integrale

 

@Antonella_Falzea
ma che smalto elegante, applicato perfettamente: brava!
Bada però che "LaTeχ" ha una "chi" minuscola per finale, non è "LaTeX" con "ics" maiuscola (Donald Knuth che lo inventò lo chiamò "Teχ" come memo per "technical").
Inoltre, a proposito di "solo che non so come fare", fai come me:
L(C) = ∫ [t = 0, 1] (4*√(t^2 + 1/8))*dt
io uso una qualsiasi "sintassi da compilatore" (la puoi estrarre da un tutorial di un linguaggio qualsiasi) e la integro facendo Copia/Incolla di qualche UTF8 per simboli e lettere greche (qui te ne copio qualcuno: ± √() ∫ → ∞ ~= α β γ δ ∂ ε η θ ζ λ μ ν π ρ σ ς τ ξ υ φ χ χ^2 ω Γ ≡ Δ Ξ Λ Π Σ Φ Ω «» € ≠ ≈ ö ≤ ≥ × · ← ↑ → ↓ ↔ ↕ ¬ Ø ∩ £ ♠ ♣ ♥ ♦ © • ÷ ○ ◦ ); per i simboli per cui non trovo un UTF8 me la cavo con gl'identificatori e le convenzioni standard ("a (non) in B" per la (non) appartenenz ; sqrt(12) ≡ √12; abs(x) ≡ |x|; (qualcosa)^(1/n) per la radice n-ma; ...).
Quando sei incerta su cos'hai scritto lo verifichi facendo Copia/Incolla della tua espressione nell'input di WolframAlpha: come visualizzatore è perfetto
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB%5Bt%3D0%2C1%5D%28%E2%88%9A%28t%5E2--1%2F8%29%29*dt

NB: scrivere un doppio meno al posto di più serve a evitare un bug di SoSmatematica.

 

lo so che non è una "ics" ma una "chi" greca (ho studiato anche greco!) ma dalla tastiera non so come digitarla... quindi accettatemi la "X" please 😉 . Grazie per le dritte, la prossima volta proverò ad applicarle.




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