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[Risolto] problema

  

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a. Trova, deducendo i dati dalla figura, le equazioni delle funzioni esponenziali $f(x)=b \cdot 2^x+c$ e $g(x)=k \cdot 2^{-x}+h$ rappresentate e determina le coordinate del loro punto di intersezione $A$.
b. Determina quale retta che appartiene al semipiano $x<0$ ed è parallela all'asse $y$, intersecando $f(x)$ e $g(x)$ forma un segmento BC lungo $\frac{21}{2}$.
c. Calcola il perimetro del triangolo $ABC$.
a) $f(x)=2^{x+1}-2, g(x)=2^{-x+1}+1, A(1 ; 2)$; b) $x=-2$;
c) $\left.\frac{21+\sqrt{85}}{2}+\sqrt{58}\right]$

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@GiorgiaBorrelli

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AB =radice (9 + 49/4) = radice (85)/2

AC = radice (9 + 49) = radice (58)

Quindi il perimetro risulta:

2p= AC + AB + BC



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A) Le funzioni graficate sono
* f(x) = y = 2*(2^x - 1)
* g(x) = y = 2/2^x + 1
e s'intersecano nella soluzione del sistema
* (y = 2*(2^x - 1)) & (y = 2/2^x + 1)
che ha risolvente
* 2/2^x + 1 - 2*(2^x - 1) = 0 ≡
≡ 2^(2*x) - (3/2)*2^x - 1 = 0 ≡
≡ u^2 - (3/2)*u - 1 = 0 ≡
≡ (u + 1/2)*(u - 2) = 0 ≡
≡ (2^x = - 1/2) oppure (2^x = 2) ≡
≡ (x non in R) oppure (x = 1)
da cui
* A(1, 2)
------------------------------
B) La retta richiesta si ottiene da
* (g(x) - f(x) = 21/2) & (x = k < 0) ≡
≡ (2/2^k + 1 - 2*(2^k - 1) = 21/2) & (k < 0) ≡
≡ k = - 2
che ha intersezioni con le esponenziali nelle soluzioni dei sistemi
* (y = 2*(2^x - 1)) & (x = - 2) ≡ B(- 2, - 3/2)
* (y = 2/2^x + 1) & (x = - 2) ≡ C(- 2, 9)
------------------------------
C) Il triangolo di vertici
* A(1, 2), B(- 2, - 3/2), C(- 2, 9)
ha lati
* a = |BC| = 21/2 (per costruzione)
* b = |AC| = √58
* c = |AB| = √85/2
e perimetro
* p = a + b + c = 21/2 + √58 + √85/2 ~= 22.73
---------------
Vedi il paragrafo "Properties" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle%281%2C2%29%2C%28-2%2C-3%2F2%29%2C%28-2%2C9%29



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SOS Matematica

4.6
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