problema

Provo se il triangolo è rettangolo applicando il teorema di Pitagora, per esempio, con i cateti:

terzo lato (ipotenusa) $=\sqrt{12^2 + 35^2} = 37 \mathrm{~cm} $; (quindi è rettangolo)

area $A=\frac{C × c}{2} = \frac{35 × 12}{2} = 210\mathrm{~cm^2} $.

 

Se invece lo dovevi calcolare con la formula di Erone, fai come segue: 

Calcola il semiperimetro $p= \frac{12+35+37}{2} = \frac{84}{2} = 42\mathrm{~cm}$;

applicando la formula di Erone:

area $A= \sqrt{42(42-12)(42-35)(42-37)} = \sqrt{42×30×7×5} = 210\mathrm{~cm^2}$.

a=12 cm

b=35 cm

c=37 cm

------------

2p=12 + 35 + 37 = 84 cm

p=84/2=42 cm

p-a=30 cm

p-b=7 cm

p-c=5 cm

Formula di Erone: Area=√(p·(p - a)·(p - b)·(p - c)) =√(42·30·7·5) = 210 cm^2

Il triangolo è rettangolo!

check : √35^2+12^2 = 37,00 cm 

questa banale verifica preliminare ci dice che il triangolo è rettangolo , pertanto :

area A = 35*12/2 = 35*6 = 105*2 = 210 cm^2

 

 

guarda caso !

e' una terna pitagorica (e' un tr. rett.)

(3, 4, 5)		(5, 12, 13)	(7, 24, 25)	(8, 15, 17)
(9, 40, 41)		(11, 60, 61)	(12, 35, 37)	(13, 84, 85)
(16, 63, 65)		(20, 21, 29)	(28, 45, 53)	(33, 56, 65)
(36, 77, 85)		(39, 80, 89)	(48, 55, 73)	(65, 72, 97)

Altri esempi di terne pitagoriche

 

A = (1/4)*√((+ a + b + c)*(- a + b + c)*(+ a - b + c)*(+ a + b - c))

Ciao,

l'area di un triangolo si trova adottando uno dei seguenti approcci:

 

1)Essendo noti i due cateti e l'ipotenusa, la formula di Erone permette di determinare immediatamente l'area del triangolo:

Siano a,b e c i lati di un triangolo generico e sia 2p il suo perimetro, l'area del triangolo si calcola come

A=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=

=√[(1/2)^4*2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)]=

=√[1/16*(a+b+c)(a+b+c-2a)(a+b+c-2b)(a+b+c-2c)]=

=1/4*√[(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)]=

=1/4√[(37+35+12)(35+12-37)(37+12-35)(37+35-12)]=210cm^2

 

2) nel caso in cui non si ricorda la formula di Erone, si può sempre seguire un approccio di ricostruzione grafica della figura :

definisco a=AB, b=BC e c=CA e impongo A=(0,0), B=(37,0) e C=(m,n).

Trovo m e n t.c. BC=35cm e CA=12cm imponendo la distanza tra punti:

BC=d(B,C)=√[(xc-xb)^2+(yc-yb)^2]=35

√[(m-37)^2+(n-0)^2]=35

1. √[(m-37)^2+n^2]=35

CA=d(C,A)=√[(xa-xc)^2+(ya-yc)^2]=12

√[(0-m)^2+(0-n)^2]=12

2. √[m^2+n^2]=12

Impongo il sistema di 2 eq. in 2 inc:

{√[(m-37)^2+n^2]=35

{√[m^2+n^2]=12

sono possibili 2 coppie di soluzioni a seconda se vogliamo C nel primo o nel quarto quadrante:

C(m,n)|1q=(144/37,420/37)

C(m,n)|4q=(144/37,-420/37)

scegliamo C come C=(144/37,420/37)

allora CH=420/37 cm

A=AB*CH/2=37*(420/37)/2=210cm^2

 

I primi due casi si possono applicare sempre.

 

3)se nel caso particolare il triangolo in esame è anche rettangolo (si individua con la verifica attraverso il teorema di Pitagora o il riconoscimento di una terna pitagorica), basta applicare il semiprodotto dei cateti:

A=b*c/2=35*12/2=210cm^2

 

ciao 😀