[Risolto] Probelma di matematica

La distanza tra due punti si calcola in questo modo:

$AP=\sqrt{(x_A-x_P)^2+(y_A-y_P)^2}$

$(AP)^2=(\sqrt{(x_A-x_P)^2+(y_A-y_P)^2})^2$

Tu hai assegnate le coordinate del punto A e la distanza. Quindi:

$4^2=(3-x_P)^2+(-1-y_P)^2$

$16=9+x_P^2-6x_P+1+y_P^2+2y_P$

$9+x_P^2-6x_P+1+y_P^2+2y_P-16=0$

$x_P^2-6x_P+y_P^2+2y_P-6=0$

Inoltre, sai che P appartiene alla retta assegnata. Quindi:

{$x_P^2-6x_P+y_P^2+2y_P-6=0$

{$y_P-2x_P-1=0$

{$x_P^2-6x_P+(2x_P+1)^2+2*(2x_P+1)-6=0$

{$y_P=2x_P+1$

{$x_P^2-6x_P+4x_P^2+1+4x_P+4x_P+2-6=0$

{$y_P=2x_P+1$

{$5x_P^2+2x_P-3=0$

{$y_P=2x_P+1$

Considero la prima equazione e calcolo il discriminante:

Δ=4+60=64

x_P=(-2±8)/10

x_P=-1 v x_P=3/5

{$x_P=-1$

{$y_P=-1$

v

{$x_P=3/5$

{$y_P=11/5$

@angeladiviccaro

Ciao e benvenuta.

y - 2·x - 1 = 0----> y = 2·x + 1

Quindi P(x,2x+1)

Bisogna quindi porre:

d = √((3 - x)^2 + (-1 - 2·x - 1)^2) =4

√(5·x^2 + 2·x + 13) = 4

5·x^2 + 2·x +13 = 16

Risolvi ed ottieni: x = 3/5 ∨ x = -1

Il luogo dei punti P(x, y) che distano r = 4 dal punto A(3, - 1) è, per definizione, la circonferenza Γ
* Γ ≡ (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 4^2
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Ogni punto P(x, y) sulla retta
* p ≡ y - 2*x - 1 = 0 ≡ y = 2*x + 1
deve avere coordinate P(x, 2*x + 1)
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Mettendo insieme le due necessità, derivate dalle definizioni di p e di Γ, si ha l'equazione risolvente
* (x - 3)^2 + (2*x + 1 + 1)^2 - 4^2 = 0 ≡
≡ 5*x^2 + 2*x - 3 = 0 ≡
≡ (x + 1)*(5*x - 3) = 0 ≡
≡ (x = - 1) oppure (x = 3/5)
da cui
* P1(- 1, - 1), P2(3/5, 11/5)
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Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By-1%3D2*x%2C%28x-3%29%5E2%3D16-%28y--1%29%5E2%5D