Un'azienda meccanica produce sbarre d'acciaio cilindriche che, per essere conformi alle specifiche, devono avere un diametro compreso tra $2,45 \mathrm{~cm} \mathrm{e} 2,55 \mathrm{~cm}$. Il diametro di una generica sbarra prodotta si può assimilare a una variabile aleatoria normale, la cui media $\mu$ viene fissata regolando il macchinario di produzione e la cui deviazione standard è $\sigma=0,02 \mathrm{~cm}$. Supponi che il macchinario venga regolato in modo che sia $\mu=2,5 \mathrm{~cm}$.
a. Scelta a caso una sbarra, qual è la probabilità che non sia conforme?
b. Se la deviazione standard $\sigma$, per un difetto al macchinario, aumentasse del $50 \%$, di quanto aumenterebbero, in percentuale, i pezzi non conformi?
c. Si sceglie a caso dalla produzione una sbarra e si verifica che il suo diametro è superiore a $2,52 \mathrm{~cm}$; qual è la probabilità che non sia conforme?
Poniti ora il problema di stabilire se la regolazione del macchinario è la migliore possibile, al fine di minimizzare i pezzi non conformi.
d. Scrivi l'espressione analitica della funzione $f:[2,45 ; 2,55] \rightarrow \mathbf{R}$ che a ogni possibile $\mu \in[2,45 ; 2,55]$ associa la probabilità che un pezzo scelto a caso nella produzione non sia conforme. Determina in corrispondenza di quale $\mu$ tale funzione è minima e concludi stabilendo se il macchinario è regolato nel miglior modo possibile.
Spiegare gentilmente i ragionamenti e argomentare.
