[Risolto] principio di induzione

Un ottimo modo di partire sarebbe stato scrivere per intero il teorema da dimostrare in modo da avere sott'occhio TUTTA le situazione e non solo, come hai scritto, metà della tesi e basta là.
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Data la successione, con indice k naturale,
* (a(1) = 1) & (a(k + 1) = a(k) + 2) ≡ a(k) = 2*k - 1
dei naturali dispari si chiede di dimostrare per induzione che la successione delle sue somme parziali
* s(n) = Σ [k = 1, n] a(k) = Σ [k = 1, n] (2*k - 1)
coincide con la successione dei naturali quadrati
* (q(1) = 1) & (q(k + 1) = q(k) + 2*k + 1) ≡ q(k) = k^2
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Tesi: s(n) = Σ [k = 1, n] (2*k - 1) = q(n) = n^2
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Passo base
* s(1) = Σ [k = 1, 1] (2*1 - 1) = 1
* q(1) = 1^2 = 1
Verificato
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Passo induttivo
Nell'ipotesi s(n) = q(n) si ha che
* s(n + 1) = Σ [k = 1, n] (2*k - 1) + (2*(n + 1) - 1) = n^2 + 2*n + 1 = (n + 1)^2
* q(n + 1) = q(n) + 2*n + 1 = n^2 + 2*n + 1 = (n + 1)^2
QED

Credo che voglia la formula per Sn = S_k:1->n (2k - 1) = 2*n(n+1)/2 - n = n^2 + n - n = n^2.

Dimostrazione.

Per n = 1 é vera, infatti S_k:1->1 (2k-1) = 2*1 - 1 = 1 e 1^2 = 1   : sono uguali.

Sia ora vera per il generico n : S_k:1->n  (2k - 1) = n^2.

Risulta quindi 

S_n+1 = S_n + 2k-1|_(k=n+1) = n^2 + 2*(n+1) - 1 = n^2 + 2n + 2 - 1 = n^2 + 2n + 1 =

= (n+1)^2 e la tesi é provata.

non so proprio come partire.(how shall i begin?) ..Begin from the beginning 😉