[Risolto] Numeri complessi

z^2 - 1 - i = 0

Ricerca z = a + b*i

con a e b REALI ed i = unità immaginaria

sostituisci:

(a + b·i)^2 - 1 - i = 0

a^2 - b^2 - 1 + i·(2·a·b - 1) = 0

Deve quindi essere:

{a^2 - b^2 - 1 = 0

{2·a·b - 1 = 0

Lo risolvi ed hai 2 sole soluzioni reali in a e b:

a = √(2·√2 + 2)/2 ∧ b = √(2·√2 - 2)/2

a = - √(2·√2 + 2)/2 ∧ b = - √(2·√2 - 2)/2

Per cui:

z = - √(2·√2 + 2)/2 - i·√(2·√2 - 2)/2 ∨ z = √(2·√2 + 2)/2 + i·√(2·√2 - 2)/2

* z^3 - 1 - i = 0 ≡
≡ z^3 = 1 + i
il secondo membro ha modulo R = √2 e anomalia θ = π/4, e così dev'essere per z^3; quindi i tre valori di z devono essere sulla circonferenza centrata nell'origine e di raggio r = 2^(1/6) con anomalie a distanza antioraria di 2*π/3 dalla radice principale di anomalia π/12.
z0 = (2^(1/6))*(cos(π/12 + 0*2*π/3) + i*sin(π/12 + 0*2*π/3)) = (2^(2/3)/4)*((√3 + 1) + i*(√3 - 1))
z1 = (2^(1/6))*(cos(π/12 + 1*2*π/3) + i*sin(π/12 + 1*2*π/3)) = (1/2^(1/3))*(- 1 + i)
z2 = (2^(1/6))*(cos(π/12 + 2*2*π/3) + i*sin(π/12 + 2*2*π/3)) = (2^(2/3)/4)*(- (√3 - 1) - i*(√3 + 1))
Vedi il paragrafo "Roots in the complex plane" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=z%5E3-1-i%3D0