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[Risolto] disequazione goniometrica  

  

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cos(pi greco x)+sin(pi greco x)>0

Potete svolgere questa disequazione spiegando tutti i passaggi? grazie

4 Risposte
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esiste una formula detta "del seno traslato" e anche "dell'angolo aggiunto" che dice che:

$Asin\alpha+Bcos\alpha=\sqrt{A^2+B^2}sin(\alpha+tan^{-1}(\frac{B}{A}))$

nel caso particolare tu hai:

$sin(\pi x)+cos(\pi x)$ quindi $A=1$ e $B=1$

pertanto 

$tan^{-1}(\frac{B}{A})=tan^{-1}(1)=\frac{\pi}{4}$

In definitiva puoi riscrivere

$sin(\pi x)+cos(\pi x)=\sqrt{2}sin(\pi x+\frac{\pi}{4})$

Ne risulta che studiare

$sin(\pi x)+cos(\pi x) >0$ è equivalente a studiare $\sqrt{2}sin(\pi x+\frac{\pi}{4})>0$ o meglio

soltanto

$sin(\pi x+\frac{\pi}{4})>0$

a questo punto chiama $t=\pi x+\frac{\pi}{4}$ e devi studiare 

$sint>0$ 

Se non sai studiare questa purtroppo devi metterti su un libro e capire cosa fa una funzione "seno".

le soluzioni di questa disequazione nella variaible $t$ sono:

$2k\pi <t<\pi+2k\pi$  con $k=0,1,2,3,4...$

risostituendo $t=\pi x+\frac{\pi}{4}$  ottieni:

$2k\pi <\pi x+\frac{\pi}{4}<\pi+2k\pi$ 

adesso dividi tutto per $\pi$:

$2k<x+\frac{1}{4}<2k+1$

e quindi

$2k-\frac{1}{4}<x<2k+\frac{3}{4}$

Ti ho fatto tutti i passaggi, non credo di potertelo spiegare meglio.

 

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comunque una disequazione o una equazione goniometrica può essere risolta in vari modi.

talvolta una strada è palesemente più rapida, altre volte sono equivalenti.

l'equazioni in questione può essere vista sia come espressione goniometrica lineare, in tal caso si segue il procedimento sviluppato da sebastiano, sia come espressione goniometrica omogenea, in tal caso si segue il procedimento che ti hanno proposto in alternativa.

Potresti anche usare le formule parametriche ma il procedimento è sconsigliato perchè molto più lungo e comunque ti farebbe arrivare alle medesime soluzioni.

@pacchiarotti è tutto giusto, il problema è che il creatore del post mi ha scritto in un commento in uno dei post precedenti che non sa studiare il segno di $sin\alpha$

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Ancora?? Siamo alla quarta volta che posti il solito quesito. Lo sai che stai infrangendo le regole del sito? puoi postare lo stesso quesito una volta sola. fra l'altro ti ho già risolto questa disequazione alcuni giorni fa e anche altri utenti te la hanno già risolta, con tutti i passaggi.

@sebastiano è la seconda volta che posto lo stesso quesito semplicemente perche seguendo il procedimento dell'altro utente non mi viene. L'altro utente ha diviso per cos(pi greco x) ottenendo la tangente, ma non sono sicuro se nelle disequazioni è corretto dividere entrambi membri, quindi ho chiesto di farmi spiegari i passaggi.

@leonardo_orsi non è la seconda volta, è la quarta. inoltre puoi benissimo aggiungere commenti nei post precedenti e chiedere spiegazioni nel caso non ti sia chiaro un procedimento. comunque adesso ti posto la soluzione, che in realtà ti ho già postato 2 volte.

 

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non puoi dividere per cosx in quanto questa funzione non ha segno costante, dunque cambia il segno dell'espressione.

 al limite potresti usare il metodo solo distinguendo i casi in cui cosx >0 e cosx <0, ma mi sembra un procedimento piuttosto laborioso che tradisce il principio del metodo matematico di trovare la soluzione nella maniera più rapida

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