[Risolto] potete spiegarmi come fare questo esercizio grazie!

Ciao di nuovo.

Risolviamo il sistema:

{a·x + y + z = 1

{x + a·y + z = 1

{z·x + y + a·z = 1

Risolviamo con il metodo di Cramer.

Calcoliamo quindi il determinante della matrice dei coefficienti del sistema 

Δ=

|a...1...1|

|1...a...1|

|1...1...a|

Δ = a^3 - 3·a + 2 =(a + 2)·(a - 1)^2 (ad es. con Sarrus)

Quindi poniamo:(a + 2)·(a - 1)^2 ≠ 0 essendo a>0 dobbiamo solo dire che a ≠ 1 

Quindi a ≠ -2 non viene preso in considerazione!

Analogamente calcoliamo gli altri determinanti andando a sostituire, in Δ nella 1^, poi nella2^, poi nella terza colonna, la colonna dei termini noti (dopo l'=)

Si ottiene:Δx = Δy= Δz =a^2 - 2·a + 1 = (a - 1)^2

Questo comporta che il valore delle incognite è lo stesso per tutte e 3:

x = y = z = (a - 1)^2/((a + 2)·(a - 1)^2)-------> 1/(a + 2)

Quindi la loro somma risulta: x+y+z=3/(a + 2) e se a>0:

x+y+z<3/2

per a =2---- >x+y+z =3/4 e x,y,z valgono 1/4

 

 

Nessuno può spiegarti COME FARE questo esercizio perché non c'è UN metodo: ciascun risolutore ha le proprie associazioni d'idee e idiosincrasie; però ciascuno di noi può illustrarti la propria procedura risolutiva.
Ad esempio la mia consiste nel produrre una soluzione simbolica formale
* (a*x + y + z = 1) & (x + a*y + z = 1) & (x + y + a*z = 1) ≡
≡ (a = 1) & (z = 1 - (x + y))
oppure
≡ (a != - 2) & (a != 1) & (x = y = z = 1/(a + 2))
e in particolare
≡ (a = - 1) & (x = y = z = 1)
e poi nel discutere su di essa e non sul sistema originale.
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RISPOSTE AI QUESITI
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A) (a > 0) & (a != 1) & (s = x + y + z = 3/(a + 2)) → s < 3/2 QED
B) (a > 0) & (a != 1) → x = y = z QED
C) (a = 2) & (x = y = z = 1/(a + 2)) ≡ x = y = z = 1/4