[Risolto] Potenze e proprietà distributiva

Per me "niki" vale Nicoletta e non Nicolino (e, nel dubbio, uso il femminile di cortesia) perciò: BENVENUTA! hai letto il Regolamento?
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1) La proprietà distributiva della divisione non è applicabile al divisore per il semplice fatto che non esiste! Si tratta della proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alle operazioni additive (addizione/sottrazione) dove il fattor comune in evidenza è l'inverso del divisore. E' piuttosto ovvio che l'inverso di una somma è tutt'altra cosa della somma fra gl'inversi degli addendi.
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2) Come t'è venuta l'idea di "riscrivere tutto in base 4" e non nella più banale base due?
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ESPRESSIONE
* E = ((- 1/2)^(- 40) + 4^21 + 4^19)/(4^20 - (1/4)^(- 19))
"... quali altre proprietà ..." io direi anzitutto quelle delle potenze.
Subespressioni
* (- 1/2)^(- 40) = 1/(- 1/2)^40 = (- 2)^40 = 2^40
* (1/4)^(- 19) = 1/(1/4)^19 = 4^19 = 2^38
* 4^19 = 2^38
* 4^20 = 2^40
* 4^21 = 2^42
* ((- 1/2)^(- 40) + 4^21 + 4^19) = (2^40 + 2^42 + 2^38)
* (4^20 - (1/4)^(- 19)) = (2^40 - 2^38)
con ciò l'espressione assume una scrittura più semplice
* E = (2^42 + 2^40 + 2^38)/(2^40 - 2^38)
Su questa forma si applica, su entrambi i termini, la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione al numeratore e rispetto alla sottrazione al denominatore
* E = (2^4 + 2^2 + 1)*2^38/((2^2 - 1)*2^38)
poi si semplifica
* E = (2^4 + 2^2 + 1)/(2^2 - 1)
si sviluppa e si riduce
* E = (16 + 4 + 1)/(4 - 1) = 7
e ciò conclude la valutazione.
CONTROPROVA nel paragrafo "Exact result" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28-1%2F2%29%5E%28-40%29%2B4%5E21%2B4%5E19%29%2F%284%5E20-%281%2F4%29%5E%28-19%29%29

(-1/2)^-40 = (-2)^40 = (-2*2)^(40/2) = 4^20

(la potenza pari di un numero negativo è positiva se il segno meno è dentro la parentesi)

-(1/4)^-19 = -(4)^19 (il meno fuori parentesi da comunque luogo ad un valore negativo ) 

al numeratore si raccoglie a fattor comune la potenza minore (4^19)

4^19(1+4+4^2) = 21*4^19

al denominatore si raccoglie a fattor comune la potenza minore (4^19)

4^19(4-1) = 3*4^19 

21*4^19 / (3*4^19) = 21/3 = 7  

@niki7

Ciao e benvenuto

((- 1/2)^(-40) + 4^21 + 4^19)/(4^20 - (1/4)^(-19))=

=((-2)^40 + 2^42 + 2^38)/(2^40 - 2^38)=

=2^38·(2^2 + 2^4 + 1)/(2^38·(2^2 - 1))=

=(2^2 + 2^4 + 1)/(2^2 - 1)=  21/3  =7

Il segno della potenza é + se l'esponente é pari.

4^19 * (4 + 16 + 1) : 4^19 *(4 - 1) =

= 21 : 3 = 7

Nota che (-1/2)^(-40) = 1:(1/2)^40 = 2^40 = 4^20