Posizione retta piano

Esplicitando le equazioni

r)

y = 6 - x

z = 12 - 2x

s)

y = 3 - x

z = -2x

i vettori direzione sono entrambi (1,-1,-2) e quindi le rette sono parallele

ed esiste un piano che le contiene.

https://www.youmath.it/domande-a-risposte/view/6183-rette-complanari.html

 

Come si trova ?

Tra tutti i piani del tipo

x + y - 6 + k(2x + z - 12) = 0

dobbiamo prendere quello che passa per (0,3,0)

(ottenuto ponendo x = 0 in s)

0 + 3 - 6 + k(0 + 0 - 12) = 0

12 k = -3

k = -1/4

e sostituendo

4(x + y - 6) - 1(2x + z - 12) = 0

2x + 4y - z - 12 = 0

 

Spiegazione dell'esercizio 289
Sono date (eq. cartesiana ≡ eq. parametriche → direzione) due rette
* r ≡ (x + y - 6 = 0) & (2*x + z - 12 = 0) ≡ (x = u) & (y = 6 - u) & (z = 12 - 2*u) → (1, - 1, - 2)
* s ≡ (2*x + z = 0) & (x + y - 3 = 0) ≡ (x = v) & (y = 3 - v) & (z = - 2*v) → (1, - 1, - 2)
che hanno cursori, di parametri (u, v) reali,
* R(u, 6 - u, 2*(6 - u))
* S(v, 3 - v, - 2*v)
e la medesima direzione, D(1, - 1, - 2), quindi sono parallele e individuano un piano
* α ≡ a*x + b*y + c*z + d = 0
di parametri direttori (a, b, c).
Per determinarli si costruisce il vettore congiungente C che rappresenta un qualsiasi segmento RS orientato, ad esempio quello per u = v = 0,
* RS = S(0) - R(0) = (0, 3, 0) - (0, 6, 12) = C(0, - 3, - 12)
che è sicuramente complanare alle rette, ma con un'altra direzione.
Pertanto il prodotto vettoriale C × D, normale al piano α, avrà componenti (a, b, c)
* C × D = (0, - 3, - 12) × (1, - 1, - 2) = (- 6, - 12, 3)
da cui
* α ≡ 2*x + 4*y - z = k
e, per determinare il termine noto, basta uno dei vincoli d'appartenenza di R(0) e/o S(0)
* R(0): 2*0 + 4*6 - 12 = 12
* S(0): 2*0 + 4*3 - 0 = 12
in conclusione
* α ≡ 2*x + 4*y - z = 12
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Ovviamente si sarebbe ottenuta la medesima verifica anche applicando il metodo generale di classificazione della relazione fra due rette qualsiasi.
Si forma la funzione "quadrato della distanza"
* |RS|^2 = d(u, v) = 3*(2*(u - v - 9/2)^2 + 21/2)
che non ha zeri, quindi le rette non sono né incidenti né coincidenti; devono essere o sghembe o parallele distinte.
Sarebbero sghembe se d(u, v) avesse un unico punto di minimo; ma d(u, v) ha il minimo valore 63/2 per ogni coppia di parametri (u, v) tali che u - v = 9/2, quindi le rette sono parallele distinte.