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[Risolto] Poligoni inscritti e circoscritti e triangoli - probelma

  

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La guardia costiera ha stabilito che le acque vicine a un certo punto $O$ lungo la costa sono pericolose a causa di rocce nascoste. Due fari, indicati nella figura con $A$ e $B$, sono posti ciascuno a $3 km$ dal punto $O$. A tutte le navi che passano da quella zona è vietato navigare a una distanza da $O$ inferiore a $3 km$. La strumentazione a bordo di una nave non consente di calcolare direttamente la distanza cui si trova da $O$, ma permette di stabilire sotto quale angolo la nave vede i due fari.
a. Se la nave si trova in un punto da cui vede i due fari sotto un angolo di $82^{\circ}$, essa sta navigando:
$\quad \square$  in acque vietate $\quad \square$ in acque consentite
b. Se la nave si trova in un punto da cui vede i due fari sotto un angolo di $102^{\circ}$, essa sta navigando:
$\quad \square$  in acque vietate $\quad \square$ in acque consentite
c. Per evitare le acque vietate, la navigazione deve avvenire in modo da vedere sempre i due fari sotto quali angoli?

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Sarei grato se qualcuno potesse spiegarmi gentilmente questo problema in modo chiaro e comprensibile per me. Vi ringrazio molto in anticipo per il vostro aiuto.

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Con riferimento al triangolo PAB 

Teorema della mediana: il doppio del quadrato della mediana PO relativa al  lato AB è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati (PA e PB), meno la metà del quadrato del lato AB.

per la valutazione di Pa e PB si usa il teorema di F. Viete (aka del coseno) :

AB^2 = PA^2+PB^2-2PA*PB*cos Θ

la tabella sottostante mostra il valore che assume PB  al variare di PA per un angolo Θ di 82°; noti PA e PB e sapendo che AB è 6 KM , si  è calcolata PO con il teorema della mediana 

image

per qualsivoglia distanza PA , PO risulta > 3km 

 

la tabella sottostante mostra il valore che assume PB  al variare di PA per un angolo Θ di 102°; noti PA e PB e sapendo che AB è 6 KM , si  è calcolata PO con il teorema della mediana 

image

si nota che per valori di PA ≤ 2,30 km , PO risulta < 3 km , quindi in acque  in cui la navigazione è interdetta 

 

Per esser certi di navigare in acque sicure , l'angolo Θ deve essere ≤ 90° (coseno ≥ 0)

 

 

 



Risposta
SOS Matematica

4.6
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