[Risolto] Pls

Ogni singolo esercizio sul come risolvere le equazioni parametriche di secondo grado si dovrebbe vedere all'interno di un quadro generale, cioè di quegli appunti riassuntivi che l'alunno diligente dovrebbe scrivere (secondo le sue proprie associazioni mentali e non secondo quelle del docente o, peggio, del libro di testo) subito dopo aver studiato la teoria di un certo argomento quando le idee sono ancora fresche e prima di affrontare il primo degli esercizi.
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APPUNTI RIASSUNTIVI
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1) Qualsiasi dis/equazione di secondo grado si può porre nella forma
* f(x) = a*T(x) <dis/eguaglianza> 0
dove
* a != 0
* T(x) = x^2 - s*x + p
* <dis/eguaglianza> è un operatore fra {<, <=, =, !=, >= , >}
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2) In generale, il trinomio quadratico monico a coefficienti reali
* T(x) = x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2)
con discriminante
* Δ = s^2 − 4*p
e zeri X = (s ± √Δ)/2, cioè
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
ha gli zeri X1 e X2 tali che
* X1 + X2 = s (somma)
* X1 * X2 = p (prodotto)
e inoltre
* 1/X1 + 1/X2 = s/p (somma degl'inversi)
* (X1)^2 + (X2)^2 = s^2 − 2*p (somma dei quadrati)
* 1/(X1)^2 + 1/(X2)^2 = (s/p)^2 - 2/p (somma dei quadrati degl'inversi)
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Se l'operatore relazionale è di eguaglianza gli zeri del trinomio si chiamano radici dell'equazione; se è di diseguaglianza si chiamano radici dell'equazione associata.
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Se il discriminante Δ è non nullo gli zeri X1 e X2 sono distinti:
* complessi coniugati se Δ < 0
* reali se Δ > 0
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Se Δ >= 0 gli zeri sono reali e vale X1 <= X2.
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3) Nel caso in cui i coefficienti (s, p) siano funzioni (s(k), p(k)) di un parametro k, ogni vincolo V(X1, X2) = 0 sugli zeri si traduce, tramite l'espressione X = (s ± √Δ)/2, in una o due equazioni in k.
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Ove sia data la più generale espressione
* a(k)*x^2 + b(k)*x + c(k) <dis/eguaglianza> 0
conviene esaminare preliminarmente i valori di k che annullano almeno una delle espressioni {a, b, c} e poi riportarsi alla forma
* T(x, k) = x^2 - s(k)*x + p(k)
con la condizione restrittiva
* a(k) != 0
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NEL CASO IN ESAME (p(x, k) = k*x^2 - 2*(k - 1)*x + 1 = 0)
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* p(x, 0) = x = - 1/2
* p(x, 1) = x = ± √(- 1)
* p(x, k != 0) = T(x, k) = x^2 - 2*(1 - 1/k)*x + 1/k = 0
con
* s = 2*(1 - 1/k)
* p = 1/k
* Δ = (2*(1 - 1/k))^2 − 4*1/k = 4*(k^2 - 3*k + 1)/k^2
e ciò basta per tre dei quesiti
a) Le radici sono uguali ≡ Δ = 0 ≡ k = (3 ± √5)/2
c) Le radici sono opposte ≡ s = 0 ≡ k = 1
d) Il prodotto delle radici è 3 ≡ p = 3 ≡ k = 1/3
mentre per quello residuo basta la definizione di equazione
b) Una radice e uguale a √3 ≡ k*(√3)^2 - 2*(k - 1)*√3 + 1 = 0 ≡
≡ 2*√3 + 1 - (2*√3 - 3)*k = 0 ≡
≡ k = 5 + 8/√3

k·x^2 - 2·(k - 1)·x + 1 = 0

Se il problema è posto nell'ambito dei numeri reali deve essere:

Δ/4 ≥ 0 ossia:

Δ/4 = (b/2)^2 - a·c ≥ 0

con:

a = k ; b = - 2·(k - 1); c = 1

Δ/4 = ((- 2·(k - 1))/2)^2 - k·1

Δ/4 = k^2 - 3·k + 1

k^2 - 3·k + 1 ≥ 0

k ≤ 3/2 - √5/2 ∨ k ≥ √5/2 + 3/2

(k ≤ 0.3819660112 ∨ k ≥ 2.618033988)

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Le radici sono uguali

Δ/4 = 0----> k = 3/2 - √5/2 ∨ k = √5/2 + 3/2

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Una radice e uguale a  √3

k·√3^2 - 2·(k - 1)·√3 + 1 = 0

k·(3 - 2·√3) + 2·√3 + 1 = 0

k = 8·√3/3 + 5 ( = k = 9.618802153)

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Le radici sono opposte

-b/a=0--> b = 0---> k = 1

non accettabile in ambito reale. In ambito complesso è accettabile

x^2 + 1 = 0---> x = -i ∨ x = i

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Il prodotto delle radici é 3

c/a = 3---> k = 1/3