[Risolto] Pitagora e Euclide

La proiezione del lato maggiore di un rettangolo sulla diagonale è 320 cm, il lato minore e la sua proiezione sulla diagonale stanno tra loro nel rapporto 3 a 5 . Determina il perimetro del rettangolo.

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Diciamo x la proiezione del lato minore del rettangolo sulla diagonale AC che sarà pertanto pari a:

AC=320+x

Quindi il lato minore del rettangolo deve essere pari5/3·x

Se h è altezza relativa alla diagonale AC del triangolo rettangolo ABC retto in B, gioco forza BC risulterà ipotenusa del triangolo BHC rettangolo in H. Quindi l'altezza h risulterà pari a:

h=√((5/3·x)^2 - x^2) = 4·x/3

Quindi, per il ° teorema di Euclide con riferimento al triangolo rettangolo ABC deve risultare:

√(320·x) = 4·x/3------> x = 180 cm ∨ x = 0

(con esclusione della seconda possibilità)

Quindi diagonale AC=320 + 180 = 500 cm

Quindi: h=4·180/3 = 240 cm ; BC=5/3·180 = 300 cm

L'area del triangolo rettangolo ABC= 1/2·500·240 = 60000 cm^2

Si deduce quindi che:

AB=60000·2/300 = 400 cm

perimetro ABCD=2·(300 + 400) = 1400 cm

La proiezione BH del lato maggiore di un rettangolo sulla diagonale è 320 cm, il lato minore AD e la sua proiezione DH sulla diagonale stanno tra loro nel rapporto 3 a 5 . Determina il perimetro 2p del rettangolo.

detto k il coefficiente che moltiplicando AD e DH da la loro misura , si applica Euclide :

AD^2 = DH*(320+DH)

(5k)^2 = 3k(320+3k)

25k^2 = 960k+9k^2

k = 960/16 = 60

AD = 5k = 5*60 = 300 cm

DH = 3*60 = 180 cm 

BD = BH+DH = 320+180 = 500 cm 

AB = √500^2-300^2 = 100√5^2-3^2 = 400 cm 

perimetro 2p = 2(400+300) = 1400 cm 

oppure : 

triangoli ADH ed ABH simili per avere tre angoli uguali (angolo DÂH complementare dell'angolo BÂH e lo stesso si può dire per l'angolo ABH , pertanto DÂH ed ABH sono uguali e lo sono pure ADH ed BÂH)

AH = √5^2-3^2 = 4 

cateti ed ipotenusa sono una terna pitagorica 3, 4, 5 per entrambi i triangoli , pertanto :

320/4 = AB/5 

AB = 80*5 = 400 cm 

AH = 400*3/5 = 240 cm 

AD = AH*5/4 = 300 cm 

perimetro 2p = 2(400+300) = 1400 cm