PITAGORA

@ilgattodischroedinger

Con riferimento alla figura , i triangoli ADE, DFB, FEC sono rettangoli con angoli di 30, 60 gradi. 

 

Il lato del triangolo equilatero inscritto è

L*radice (3)/3

 

Indichiamo con x il lato del triangolo equilatero inscritto 

Quindi :

 

AD = cateto opposto all'angolo di 30 = x*radice (3)/3

DB = ipotenusa = 2*AD = 2x* radice (3)/3

AD + DB = L

 

Deve risultare:

( (x*radice (3) / 3) + ((2x * radice (3))/3) = L

x* radice (3) = L

x= L*radice (3) / 3

 

Allora: ED = L*radice (3) /3

 

Possiamo calcolare l'area dei due triangoli e il loro rapporto 

Area ABC = (L²/4) * radice (3)

Area DEF = (L²/12) * radice (3)

A_ABC = 3*A_DEF

Altezza del triangolo ABC:

CH = radice[l^2 - (l/2)^2] = rad[(4l^2 - l^2)/4] = 1/2 * rad(3 l^2);

CH = l * rad(3) / 2;

Area ABC = l * [l * rad(3) / 2] / 2 = l^2 * rad(3) / 4;

 

AD è metà di AE perché ha di fronte un angolo di 30°;

ADE  è rettangolo in D ; AE è l'ipotenusa ed è il doppio di AD cateto;

ED è il lato che dobbiamo trovare.

tan(30°) = rad(3) / 3 = AD / ED;

AD = ED * rad(3) /3;

AE = 2AD;

Anche il triangolo ECF è rettangolo; EC è metà di CF; CF = AE;

EC è metà di AE;

EC = AE / 2;

AE + EC = l (lato di ABC).

EC = AD;

AD + 2AD = l;

3 AD = l;

AD = l/3;

AD = ED * rad(3) /3;

l/3 = ED * rad(3) / 3;

ED = l / rad(3) = l * rad(3) / 3; lato del triangolo DEF inscritto.

altezza EK = ED * rad(3) / 2 = [ l * rad(3)/3] * rad(3) / 2 = l * 3 / 6 =  l/2 ;

EK = l/2; altezza.

Area DEF = ED * EK / 2;

Area DEF = [l * rad(3) /3] * l/2 :2  = l^2 *rad(3) / 12;

Area ABC = l^2 * rad(3) / 4;

rapporto:

[ l^2 * rad(3) / 4] : [l^2 *rad(3) / 12);

l^2 rad(3) si semplifica;

1/4 : 1/12 = 12/4 = 3.

Ciao non avevo avuto tempo. @ilgattodischroedinger