La diagonale $B D=8 \ell$ di un rettangolo $A B C D$ forma un angolo di $30^{\circ}$ con il lato $A B$; tale rettangolo è la base di una piramide avente il vertice $V$ sulla retta perpendicolare al piano del rettangolo passante per il punto medio del lato $A D$. Determina l'inclinazione del piano $V B C$ rispetto a quello del rettangolo in modo che il rapporto fra la somma delle aree delle facce opposte VAD e VBC e la somma delle aree delle altre due facce sia uguale a $\frac{\sqrt{15}}{5}$.
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Livello 2
Ciao ho svolto il tuo problema. Prova a darci un'occhiatina!
Siccome si parla di rapporti fra grandezze conviene eliminare la " l" e considerare la base della piramide un rettangolo avente le dimensioni:
ΑΒ = 4·√3 ; ΒC = 4 ; ΒD = 8
chiamare con z = h la quota del vertice V che in figura sta sul piano coordinato x=0 (nello spazio)
Chiamare con VAD; VBC; VDC=AVB le superfici laterali della piramide di cui la prima è verticale.
Scrivi quindi che :
(VAD+VBC)/(VDC+VAB)=√15/5
quindi:
(1/2·4·h + 1/2·4·√((4·√3)^2 + h^2))/(1/2·4·√3·√(2^2 + h^2) + 1/2·4·√3·√(2^2 + h^2)) = √15/5
semplifico:
(2·√(h^2 + 48) + 2·h)/(4·√3·√(h^2 + 4)) = √15/5
Risolvo ed ottengo:
h = 4 ∨ h = -1
In grassetto la risposta
L'inclinazione del piano VBC rispetto al piano di base della piramide è data dalla tangente:
TAN(α) = 4/(4·√3)-----> α = pi/6
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Genius III
